第四章线性方程组 二、非齐次线性方程组的通解 由性质4.3.1知(4-1)的任一解x总可以表示为 x=5+n 其中5是(4-5)的解，n是(4-1)的一个解 又若方程组(4-5)的通解为 元=k51+k,52+.+kn,5n 则方程组(4-)的任意解总可以表示为 x=k151+k252+.+km-,5m-,+7
第四章 线性方程组 二、非齐次线性方程组的通解 由性质4.3.1知 (4-1)的任一解x总可以表示为 * * (4 5) (4 1) x = + 其中 是 − − 的解， 是 的一个解. * 1 1 2 2 n r n r x k k k = + ++ + − − 1 1 2 2 n r n r x k k k = + ++ − − 又若方程组(4-5)的通解为 则方程组(4-1)的任意解总可以表示为
第四章线性方程组 而由性质4.3.2可知，对任何数k1,k2,km-, 上式总是方程(4-1)的解，于是方程组(4-1)的通解为 x=k51+k252++km-,5m,+n 其中 51,52,.,5n,是(4-5)式的基础解系， k1,k2,knr为任意数
第四章 线性方程组 而由性质4.3.2可知,对任何数 1 2 , , , n r k k k − 上式总是方程(4-1)的解,于是方程组(4-1)的通解为 * 1 1 2 2 n r n r x k k k = + ++ + − − 1 2 , , , n r − 1 2 , , , , n r k k k − 其中 是(4-5)式的基础解系, 为任意数
第四章线性方程组 例1：求解方程组 七1+X2-3x3-x4=1, 3X1-X2-3x3+4x4=4, x1+5x2-9x3-8x4=0. 解：对增广矩阵进行初等行变换化成行最简形 11-3-1 1 2-3r 11-3-1 1 A= 3-1 -3 44 0-4 6 71 1 5 -9-8053-504-6-7-1
第四章 线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 1, 3 3 4 4, 5 9 8 0. x x x x x x x x x x x x + − − = − − + = + − − = 例1：求解方程组 1 1 3 1 1 3 1 3 4 4 1 5 9 8 0 A − − = − − − − 2 1 3 1 3 1 1 3 1 1 ~ 0 4 6 7 1 0 4 6 7 1 r r r r − − − − − − − − 解： 对增广矩阵进行初等行变换化成行最简形
第四章线性方程组 11-3 -1 3 3 5 1 3+ 0 2 4 3 1 01 3 1 2 4 0 1 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 于是得与原方程组同解的方程组 3 3 5 x 3+ 2 X41 4 3 1 X2 2 3
第四章 线性方程组 3 2 2 1 1 3 1 1 3 7 1 ~ 0 1 244 1 ( ) 0 0 0 0 0 4 r r r − − + −−− − 1 2 3 3 5 1 0 2 4 4 3 7 1 ~ 0 1 244 0 0 0 0 0 r r − − −−− 于是得与原方程组同解的方程组 1 3 4 2 3 4 3 3 5 , 2 4 4 3 7 1 , 2 4 4 x x x x x x − + = − − = −
第四章线性方程组 3 3 5 X1= 3 即 2 3 1 x2 原方程组所对应的齐次方程组的一个基础解系为 3 3 2 4 3 5= 2 5= 7-4 1 0 0 1
第四章 线性方程组 1 3 4 2 3 4 3 3 5 , 2 4 4 3 7 1 . 2 4 4 x x x x x x = − + = + − 即 原方程组所对应的齐次方程组的一个基础解系为 1 3 2 3 2 1 0 = 2 3 4 7 4 0 1 − =