84第三章中值定理与导数的应用f(x)(或 lim_8(a))lim(f(x)g(x)= lim -1/ f(x)1/g(x)转化为="或-型，再应用洛比达法则.但要注意这种恒等变形对对数与反三角函数一般不“下放”。080例6求 lim x(元/2-arctanx).解这是0.型未定式，因为元-arctanx2lim x(π/2-arctanx)= lim-x上式右端是只型未定式，应用洛比达法则，得01元-arctanxx21+2lim x(元/2-arctan x)= lim -= lim -=lim=1.1-x+$+ 1+ x2+X→+4T+tax2元例7求lim(1-x)tanxx→12解这是0-80型未定式，因为Rsinx1- x274lim(1-x2)tanx= lim(1-x2=limcosx→2cosxx-22上式右端是～型未定式，应用洛比达法则，得0元sin≥x1- x2元lim(1-x)tan=x= lim(1-x)=lim元O→2T→→Vonr-2xlm4x=lim元元个元-sin=xsin-x222例8求limx"Inx(n>0).解这是0·0型未定式，因为Inxlimx"Inx=lim11~→0x-→0*上式右端是-型未定式，应用洛比达法则，得00-Inxxlimx"Inx=lim=limlim1-n→0*t2.00-00型未定式0这种类型的未定式通常采用通分、根式有理化、变量替换等方法，将其转化为%或=型，再应000用洛比达法则
84 第三章 中值定理与导数的应用 ( ) lim( ( ) ( )) lim 1 ( ) f x f x g x g x = ( 或 ( ) lim ) 1 ( ) g x f x 转化为 0 0 或 • • 型， 再应用洛比达法则． 但要注意这种恒等变形对对数与反三角函数一般不“下放”． 例 6 求 lim ( 2 arctan ) x x p x Æ+• - ． 解 这是0 ו 型未定式，因为 arctan 2 lim ( 2 arctan ) lim x x 1 x x x x p p Æ+• Æ+• - - = ， 上式右端是 0 0 型未定式，应用洛比达法则，得 2 2 2 2 1 arctan 2 1 lim ( 2 arctan ) lim lim lim 1 x x 1 x 1 x 1 x x x x x x x x p p Æ+• Æ+• Æ+• Æ+• - - + - = = = = + - ． 例 7 求 2 1 lim(1 )tan x 2 x x p Æ - ． 解 这是0 ו 型未定式，因为 2 2 2 1 1 1 sin 1 2 lim(1 )tan lim(1 ) lim 2 cos cos 2 2 x x x x x x x x x x p p Æ Æ p Æ p - - = - × = ， 上式右端是 0 0 型未定式，应用洛比达法则，得 2 2 2 1 1 1 sin 1 2 lim(1 )tan lim(1 ) lim 2 cos cos 2 2 x x x x x x x x x x p p Æ Æ p Æ p - - = - × = 1 2 lim sin 2 2 x x x Æ p p - = - 1 4 4 lim sin 2 x x x p Æ p p = = ． 例 8 求 0 lim ln n x x x Æ + (n > 0) ． 解 这是0 ו 型未定式，因为 0 0 ln lim ln lim 1 n x x n x x x x Æ + Æ + = ， 上式右端是 • • 型未定式，应用洛比达法则，得 0 0 0 0 1 1 ln lim ln lim lim lim 0 1 n n x x x x n n x x x x x n n x x Æ + Æ + Æ + Æ + + Ê - ˆ = = = Á ˜ = - Ë ¯ ． 2．• - • 型未定式 这种类型的未定式通常采用通分、根式有理化、变量替换等方法，将其转化为 0 0 或 • • 型，再应 用洛比达法则．
85第三节泰勒公式例9求lim(secx-tanx)，解这是80-00型未定式，因为1 sin xlim,(secx-tanx)= lim+/2cos.x0上式右端是一型未定式，应用洛比达法则，得0I-sinx-cos.xlim,(secx- tanx)= lim.=lim=0.x→/2cosx1/2-sinx例10 求lim[x-x In(1+1/x)] .解这是0-型未定式，令1=1/x，则t- In(1+t)lim[x - x In(1 + 1/x)]= lim[--In(1+0))= limt21-→0o"tt上式右端是只型未定式，应用洛比达法则，得01-t-In(1+t)111+1lim[x- x2 1n(1 +1/x)]= lim=lim-lim201(1+)2122t1→03．0°，1°，0未定式0°1",0°是幂指函数的未定式，常利用对数恒等式y=en"转化为0.0型未定式，再转化为%0-型未定式，最后应用洛比达法则。00例11求limx解这是o°型未定式，令y=x，两边取对数，有lny=xlnx，所以lim In y= lim xlnx,3→+0XH上式右端是0.。型未定式，因为Inxlim In y= lim xlnx= lim$01x上式右端是-型未定式，应用洛比达法则，得001-InxlimIn y= lim xlnx= lim= lim-limx=0.x+011-→+x→+0X-+0*→.2ximInylim x* = lim erlnx故=e'=l.例12求lim(x+V1+x）解这是°型未定式，令y=(x+V1+x)，两边取对数，有lny=In(x+/1+x），所以Xlim In y= lim =in(x+ V1+x).1
第三节 泰勒公式 85 例 9 求 2 lim (sec tan ) x x x Æp - ． 解 这是• - • 型未定式，因为 2 2 1 sin lim (sec tan ) lim cos x x x x x Æp Æp x - - = ． 上式右端是 0 0 型未定式，应用洛比达法则，得 2 2 2 1 sin cos lim (sec tan ) lim lim 0 x x cos x sin x x x x Æp Æp x Æp x - - - = = = - ． 例 10 求 2 lim[ ln(1 1 )] x x x x Æ• - + ． 解 这是• - • 型未定式，令t =1 x ，则 2 2 2 0 0 1 1 ln(1 ) lim[ ln(1 1 )] = lim[ ln(1 )] lim x t t t t x x x t Æ t t t • Æ Æ - + - + - + = ， 上式右端是 0 0 型未定式，应用洛比达法则，得 2 2 0 ln(1 ) lim[ ln(1 1 )] lim x t t t x x x Æ t • Æ - + - + = 0 0 1 1 1 1 1 lim lim t 2 2 t (1 ) 2 t t Æ t Æ t t - + = = = + ． 3． 0 0 ，1 • ， 0 • 未定式 0 0 0 ,1 , • • 是幂指函数的未定式，常利用对数恒等式 ln y y = e 转化为0 ו 型未定式，再转化为 0 0 或 • • 型未定式，最后应用洛比达法则． 例 11 求 0 lim x x x Æ+ ． 解 这是 0 0 型未定式，令 x y = x ，两边取对数，有ln y = xln x ，所以 0 0 lim ln lim ln x x y x x Æ+ Æ+ = ， 上式右端是0 ו 型未定式，因为 0 0 0 ln lim ln lim ln lim x x x 1 x y x x x Æ+ Æ+ Æ+ = = ， 上式右端是 • • 型未定式，应用洛比达法则，得 0 0 0 0 0 2 1 ln lim ln lim ln lim lim lim 0 x x x 1 x 1 x x x y x x x x x Æ+ Æ+ Æ+ Æ+ Æ+ = = = = - = - ． 故 0 lim ln ln 0 0 0 lim lim 1 x y x x x x x x e e e Æ+ Æ+ Æ+ = = = = ． 例 12 求 1 2 lim ( 1 ) x x x x Æ+• + + ． 解 这是 0 • 型未定式，令 1 2 ( 1 ) x y = x + + x ，两边取对数，有 2 ln y ln(x 1 x ) x 1 = + + ，所以 2 lim ln lim ln( 1 ) x x y x x Æ+• Æ+• x 1 = + + ．
86第三章中值定理与导数的应用上式右端是-型未定式，应用洛比达法则，得001lim In y= lim =In(x + V/1+x)= lim -=0y+x+ XIm(x+/h+r)lim Iny故lim(x+Vi+x)=lime=e°=1=er-二例13求 lim[(a*+b*+c*)/3]*,(a>0,b>0,c>0)解这是1°型未定式，令y=[(a*+b*+c*)/3]*，两边取对数，有-[In(a* +b*+c")-In3] ,Iny=-所以lim In y = lim -[In(a* + b* +c)In 3],上式右端是六型未定式，应用洛比达法则，得0lim ln y = lim =[In(a* + b* + c*)In 3] = lim-[a"na+b"Inb+cInc]r-0a*+b*+c+0X=(Ina+Inb+Inc)==in(abc)=In(abc)4h(a'+b*+c')-h3limlnyln(abe)3故=(abc)3=abclim[(a*+b*+c*)/3]" = lime=erm+sinx存在吗?能否用洛比达法则求其极限？例14极限lim=x-sinx1+=sinxx+sinx解lim= lim=1,r-x-sinx-sinxx即极限存在。但不能用洛比达法则求出其极限。因为lim+sinx尽管是=型，可是若对分子分母分ox-sinxni+cosx不存在，故不能使用洛比达法则.1+cosx别求导后得，由于lim1-cOS.xI-cosx
86 第三章 中值定理与导数的应用 上式右端是 • • 型未定式，应用洛比达法则，得 2 2 1 lim ln lim ln( 1 ) lim 0 1 x x x y x x x x Æ+• Æ+• Æ+• 1 = + + = = + ． 故 1 2 ln( 1 ) lim ln 2 0 lim ( 1 ) lim 1 x x x y x x x x x x e e e Æ+• 1 + + Æ+• Æ+• + + = = = = ． 例 13 求 1 0 lim[( ) 3] x x x x x a b c Æ + + ,(a > 0,b > 0,c > 0) ． 解 这是1 • 型未定式，令 1 [( ) 3] x x x x y = a + b + c ，两边取对数，有 1 ln [ln( ) ln 3] x x x y a b c x = + + - ， 所以 0 0 1 limln lim [ln( ) ln 3] x x x x x y a b c Æ Æ x = + + - ， 上式右端是 0 0 型未定式，应用洛比达法则，得 0 0 0 1 limln lim [ln( ) ln 3] lim [ ln ln ln ] x x x x x x x x x x x x y a b c a a b b c c Æ Æ x Æ a b c = + + - = + + + + 1 1 3 1 1 (ln ln ln ) ln( ) ln( ) 3 3 = a + b + c = abc = abc ， 故 1 3 0 1 ln( ) ln 3 1 lim ln ln( ) 3 3 0 0 lim[( ) 3] lim ( ) x x x x a b c y x x x abc x x x x a b c e e e abc abc Æ + + - Æ Æ + + = = = = = ． 例 14 极限 sin limx sin x x Æ• x x + - 存在吗?能否用洛比达法则求其极限? 解 1 1 sin sin lim lim 1 sin 1 1 sin x x x x x x x x x x Æ• Æ• + + = = - - ， 即极限存在．但不能用洛比达法则求出其极限．因为 sin limx sin x x Æ• x x + - 尽管是 • • 型，可是若对分子分母分 别求导后得1 cos 1 cos x x + - ，由于 1 cos lim 1 cos x x Æ• x + - 不存在，故不能使用洛比达法则．
87第三节泰勒公式第三节泰勒公式为了便于研究一些复杂函数，我们往往希望用一些简单函数来近似表示。由于用多项式表达的函数，只要对自变量进行有限次数的加、减和乘三种算数运算便能求出它的函数值来：因此经常用多项式近似表达函数，这是近似计算和理论分析中的一个重要内容一、泰勒中值定理在微分应用中已经知道近似公式f(x) ~f(x)+ f'(x)(x-x)=p(x).,p(x)是x的一次多项式。这种近似从几何上来看，实际上是用过点(xo,f(x)的切线p(x)来代替曲线f(x），如图3-5所示ytJ=(x)P(a)1(x)xC图3-5显然，P(x)在x=x处的值及一阶导数的值分别等于被近似表达函数f(x)的值及一阶导数的值，即p(x)=f(x），P()=f(xo)但这种近似表达式存在两个不足之处，一是精度不高；二是作近似计算时不能具体估算出误差的大小：对于精度要求较高且需要估计误差时，就必须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式．于是提出如下问题：设函数f(x）在含有x的某开区间(a,b)内具有直到n+1阶导数，找一个关于x-x的n次多项式(1)p,(x)=ao+a,(x-x)+a,(x-x)+...+a,(x-x)"来近似表达函数f(x)，要求p.(x)与f(x)之差(误差）R(x)=f(x)-p.(x)是比(x-x）高阶的无穷小，同时给出误差|R,(x)I的具体表达式.下面我们来讨论这个问题。假设p,(x)与f(x)在x处的函数值相等，它们在x处的直到n阶导数值依次相等，即满足P(x)=f(x), p(x)=f'(x), P(x0)= f"(x) , , p()= f("(x),按这些等式来确定多项式p,(x)的系数ao,a,a2,,a为此，先求多项式p.(a)的直到n阶导数，有p'(x)= a,+2a,(x-x,)+...+na,(x-xo)"-l,p(x)= 2la, ++n(n-1)a,(x-x.)"-2,p"(x)= n!a,.然后将分别代入上述等式组，得p(x)=aj，p(x)=2!a2,..,p("(x)=n!a,.即得f"(x),, a,=(n)(x) =f(x),=f(x),a,=2217将求得的系数代入多项式p(x)，有
第三节 泰勒公式 87 第三节 泰勒公式 为了便于研究一些复杂函数，我们往往希望用一些简单函数来近似表示．由于用多项式表达的 函数，只要对自变量进行有限次数的加、减和乘三种算数运算便能求出它的函数值来．因此经常用 多项式近似表达函数，这是近似计算和理论分析中的一个重要内容． 一、泰勒中值定理 在微分应用中已经知道近似公式 f (x) Δ 0 0 0 1 ª f (x ) + f ¢ (x )(x - x ) = p (x) .， 1 p (x)是 x 的一次多项式．这种近似从几何上来看，实际上是用过点 0 0 (x , f (x )) 的切线 1 p (x)来代替曲 线 f (x) ，如图 35 所示． 图 35 显然， 1 p (x) 在 0 x = x 处的值及一阶导数的值分别等于被近似表达函数 f (x) 的值及一阶导数的 值，即 1 0 0 p (x ) = f (x ) ， 1 0 0 p¢(x ) = f ¢(x ) ．但这种近似表达式存在两个不足之处，一是精度不高；二是 作近似计算时不能具体估算出误差的大小．对于精度要求较高且需要估计误差时，就必须用高次多 项式来近似表达函数，同时给出误差公式．于是提出如下问题：设函数 f (x) 在含有 0 x 的某开区间 (a,b )内具有直到n +1阶导数，找一个关于 0 x - x 的 n 次多项式 2 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n p x = a + a x - x + a x - x +L+ a x - x (1) 来近似表达函数 f (x) ，要求 ( ) n p x 与 f (x) 之差(误差) ( ) ( ) ( ) Rn n x = f x - p x 是比 0 ( ) n x - x 高阶的无穷 小，同时给出误差| ( ) | Rn x 的具体表达式． 下面我们来讨论这个问题. 假设 ( ) n p x 与 f (x) 在 0 x 处的函数值相等，它们在 0 x 处的直到 n 阶导 数值依次相等，即满足 0 0 ( ) ( ) n p x = f x ， 0 0 ( ) ( ) n p¢ x = f ¢ x ， 0 0 ( ) ( ) n p¢¢ x = f ¢¢ x ，L， ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) n n n p x = f x ， 按这些等式来确定多项式 ( ) n p x 的系数 0 1 2 , , , , n a a a L a ．为此，先求多项式 ( ) n p x 的直到n 阶导数，有 ( ) n p¢ x = 1 1 2 0 0 2 ( ) ( ) n n a a x x n a x x - + - +L + - ， ( ) n p¢¢ x = 2 2 0 2 ! ( 1) ( ) n n a n n a x x - +L + - - ， L ( ) ( ) n n p x = ! n n a ． 然后将 0 x 分别代入上述等式组，得 0 1 ( ) n p¢ x = a ， 0 2 ( ) 2 ! n p¢¢ x = a ，L， ( ) 0 ( ) n n p x = ! n n a ． 即得 0 0 a = f (x )， 1 0 a = f ¢(x ) ， 2 0 1 ( ) 2! a = f ¢¢ x ，L， ( ) 0 1 ( ) ! n n a f x n = ， 将求得的系数代入多项式 ( ) n p x ，有