79第一节微分中值定理三、柯西中值定理对于参数方程[x=g(t),a≤t≤bly=f()的图像是 xOy面上的曲线弧 AB，如图 3-4所示，比值L)二(是弦 AB 的斜率，曲线上点(sJ)g(b)-g(a)处的切线的斜率为dx_ f(α)dyg(x)若曲线上存在一点C，对应参数t=Ee(a,b)，那么曲线上点C处的切线与平行弦AB，可表示为f(b)-f(a)f'()g(5)g(b)-g(a)与这一事实相应的是Jt1(6)6f()f(a0g(a) g(c)g(b) 图3-4定理3（柯西中值定理）设函数f(x)与g(x)满足1)在闭区间[a,b]上连续，2)在开区间(a,b)内可导，3)在开区间(a,b)内g(x)±0，则在(a,b)内至少存在一点三，使得f(b)-f(a)f()g()g(b)-g(a)该式称为柯西中值公式利用罗尔定理来证明柯西中值定理。由于函数g(x)满足拉格朗日中值定理的条件，从而有g(b)-g(a)=g(n)(b-a),a<n<b.又由假定知，g(n)±0，且b-a±0，所以g(b)-g(a)+0.于是所证等式f(b)- f(a)_ f'()g(b)-g(a) g()转化为证等式(5)- (6)-T(a).g()=0g(b)-g(a)若把该等式左端看作是函数(x)在点的导数，即f(b)-f(a)9(5)= f'(5)-g(3),g(b)-g(a) 8那么可以构造辅助函数f(b)- f(a)9(x)= f(x)- g(x),b-a
第一节 微分中值定理 79 三、柯西中值定理 对于参数方程 ( ) , ( ) x g t y f t Ï = Ì Ó = a £ t £ b 的图像是 xOy 面上的曲线弧 AB ，如图 34 所示, 比值 ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a g b g a - - 是弦 AB 的斜率，曲线上点(x, y) 处的切线的斜率为 ( ) ( ) dx f x dy g x ¢ = ¢ ． 若曲线上存在一点C ，对应参数t = x Œ (a,b) ，那么曲线上点C 处的切线与平行弦 AB ，可表示为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f g b g a g x x - ¢ = - ¢ ． 与这一事实相应的是 图 34 定理 3（柯西中值定理） 设函数 f (x) 与 g(x) 满足 1) 在闭区间[a,b ]上连续， 2) 在开区间(a,b )内可导， 3) 在开区间(a,b )内 g¢(x) ¹ 0 ， 则在(a,b )内至少存在一点x ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f g b g a g x x - ¢ = - ¢ ． 该式称为柯西中值公式． 利用罗尔定理来证明柯西中值定理．由于函数 g(x) 满足拉格朗日中值定理的条件，从而有 g(b) - g(a) = g¢(h)(b - a) ， a <h < b ． 又由假定知， g¢(h) ¹ 0 ，且b - a ¹ 0 ，所以 g(b) - g(a) ¹ 0 ．于是所证等式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f g b g a g x x - ¢ = - ¢ 转化为证等式 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f b f a f g g b g a x x - ¢ - ¢ = - ． 若把该等式左端看作是函数φ (x)在点x 的导数，即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a φ f g g b g a x x x - ¢ = ¢ - ¢ - ， 那么可以构造辅助函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a φ x f x g x b a - = - -
80第三章中值定理与导数的应用在[a,b]上满足罗尔定理证作辅助函数(x)= f(x)- (b)-F(a) g(x),g(b)-g(a)容易验证(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且9()=3(b)(@-1()8(a=(b).g(b)-g(a)由罗尔定理知，至少存在一点e(a,b)，使得(5)=0，即I(5)- (6)- (a)g(5)=0.g(b)-g(a)由gx)≠0，有g（)0，所柯西中值公式成立.很明显，如果取g(x)=x，则g(b)-g(a)=b-a，g(x)=1，于是柯西中值公式就可写成f(b)-f(a)=f'(E)(b-a),a<=<b,这样就变成拉格朗日中值公式了，例6设f(x)与g(x)都是可导函数．当x>a时，f(x)g(x)．试证，当x>a时，有If(x)-f(a)/<g(x)-g(a) .证因为当x>a时，g(x)>If(x)[≥0.即g(x)>0时，所以g(x)在(a,+o)内单增.故当x>a时有g(x)>g(a)，即g(x)-g(a)>0.对f(x)和g(x)在[a,x)上应用柯西中值定理，得到f(x)-f(a)_ f'()a<E<x.g(x)-g(a)g()(1If(x)-f(a)I_f(x)-f(a)由此推出Ig()g(x)-g(a)g(x)-g(a)g()因此当x>a时有/ f(x)-f(a)<g(x)-g(a) 在证明关于两个函数之间的不等式或关系时，往往用柯西中值定理
80 第三章 中值定理与导数的应用 在[a,b ]上满足罗尔定理． 证 作辅助函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a φ x f x g x g b g a - = - - ， 容易验证φ (x)在[a,b ]上连续，在开区间(a,b )内可导，且 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g b f a f b g a φ a φ b g b g a - = = - ． 由罗尔定理知，至少存在一点x Œ (a,b) ，使得φ¢(x ) = 0，即 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f b f a f g g b g a x x - ¢ - ¢ = - ． 由 g¢(x) ¹ 0 ，有 g¢(x ) ¹ 0 ，所柯西中值公式成立． 很明显，如果取 g(x) = x ，则 g(b) - g(a) = b - a ， g¢(x) = 1，于是柯西中值公式就可写成 f (b) - f (a) = f ¢(x )(b - a)， a < x < b ， 这样就变成拉格朗日中值公式了． 例 6 设 f (x) 与 g(x) 都是可导函数．当 x > a 时，| f ¢(x) |< g¢(x)．试证，当 x > a 时，有 | f (x) - f (a) |< g(x) - g(a) ． 证 因为当 x > a 时，g¢(x) >| f ¢(x) |³ 0．即 g¢(x) > 0 时，所以 g(x) 在(a,+• )内单增．故当 x > a 时 有 g(x) > g(a) ，即 g(x) - g(a) > 0 ．对 f (x) 和 g(x) 在[a, x ] 上应用柯西中值定理，得到 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) f x f a f a x g x g a g x x x - ¢ = < < - ¢ ． 由此推出 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f a f x f a f f g x g a g x g a g g x x x x | - | - ¢ | ¢ | = = = < - - ¢ ¢ ． 因此当 x > a 时有 f (x) - f (a) < g(x) - g(a) ． 在证明关于两个函数之间的不等式或关系时，往往用柯西中值定理．
81第三节泰勒公式第二节洛必达法则本节研究函数之商的极限转化为导数之商的极限一、极限的七种末定式假定在x的同一变化过程中，若1) lim (x)=0,limg(t)=0，且lim(不一定存在，则这种极限称为为~型未定式，0g(x)2) lim (1)=0,limg(1)=0,且lim(不一定存在， 则这种极限称为=型未定式,g(x)o3)limf(x)=0,limg(x)=0，且limf(x)8()不一定存在，则这种极限称为0°型未定式4)limf(x)=00limg(x)=c0，且lim(f(x)-g(x))不一定存在，则这种极限称为0=00型未定式5)limf(x)=0,limg(x)=0，且lim(f(x)g(x))不一定存在，则这种极限称为0.0型未定式6)limf(x）=80,limg(x)=0，且limf(x）(x)不一定存在，则这种极限称为°型未定式7)limf(x)=1,limg(x)=0，且limf(x)8(*)不一定存在，则这种极限称为1°型未定式对于这类极限，即使它存在也不能用使用前面讲过的极限法则来求。但洛必达法则提供了一个非常简便有效的方法下面我们将根据柯西中值定理来推出求这类极限的一种简便且重要的方法：，其中1)和2）两种未定式是最基本的，其它儿种未定式都可以经过变形转化为1）和2）：下面利用柯西中值定理对洛必达法则加以证明二、洛必达法则定理1(洛必达法则I)若函数f(x)与g(x)满足下列条件：1)lim f(x)=0, limg(x)=0;2）在x的某去心邻域U(x）内f(x)与g(x)存在，且g(x)￥0；3）lim(=4(或为无穷大)。+g(x)mam2=A(或为无穷大).则* g(x)x-→ro g(x)证因为极限lim()与J(x)和g()无关，不妨设()=g()=0．定义辅助函数+og(x)Jf(x), x*x[g(x), x±xoF(x)=,G(x)=[0,x=xo[0,x=xo由条件I)知函数F(x)与G(x)在x=x处连续；由条件2)知函数F(x)与G(x)在U(x）内连续，且G(x)=g(x)0.从而在U(x)内任取一点x，以x与x为端点的区间上函数F(x)与G(x)满足柯西中值定理的条件。于是，在x与x之间存在，使得F(x)-F(0)_F()-f()G(5)g(5)G(x)-G(xo)F(x)-F(xo)-f(x)-0_f(x)而G(x)-G(x)g(x)-00g(x)
第三节 泰勒公式 81 第二节 洛必达法则 本节研究函数之商的极限转化为导数之商的极限 一、极限的七种末定式 假定在 x 的同一变化过程中，若 1) lim f (x) = 0 ,lim g(x) = 0，且 ( ) lim ( ) f x g x 不一定存在，则这种极限称为 0 0 型未定式． 2) lim f (x) = • ,limg(x) = • ，且 ( ) lim ( ) f x g x 不一定存在，则这种极限称为 • • 型未定式． 3) lim f (x) = 0 ,lim g(x) = 0，且 ( ) lim ( ) g x f x 不一定存在，则这种极限称为 0 0 型未定式． 4) lim f (x) = • ,limg(x) = • ，且lim( f (x) - g(x)) 不一定存在，则这种极限称为• - • 型未定式． 5) lim f (x) = • ,limg(x) = 0 ，且lim( f (x)g(x)) 不一定存在，则这种极限称为• × 0 型未定式． 6) lim f (x) = • ,limg(x) = 0 ，且 ( ) lim ( ) g x f x 不一定存在，则这种极限称为 0 • 型未定式． 7) lim f (x) =1,limg(x) = 0，且 ( ) lim ( ) g x f x 不一定存在，则这种极限称为 0 1 型未定式． 对于这类极限，即使它存在也不能用使用前面讲过的极限法则来求．但洛必达法则提供了一个非 常简便有效的方法.下面我们将根据柯西中值定理来推出求这类极限的一种简便且重要的方法．其中 1) 和 2) 两种未定式是最基本的， 其它几种未定式都可以经过变形转化为1) 和 2) .下面利用柯西中值定 理对洛必达法则加以证明. 二、洛必达法则 定理 1(洛必达法则 I) 若函数 f (x) 与 g(x) 满足下列条件： 1) 0 lim ( ) 0 x x f x Æ = ， 0 lim ( ) 0 x x g x Æ = ； 2) 在 0 x 的某去心邻域 0 U (x ) o 内 f ¢ (x) 与 g¢ (x) 存在，且 g¢ (x) ¹ 0 ； 3) 0 ( ) lim ( ) x x f x A Æ g x ¢ = ¢ (或为无穷大)． 则 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x A Æ g x Æ g x ¢ = = ¢ (或为无穷大)． 证 因为极限 0 ( ) lim ( ) x x f x Æ g x 与 0 f (x )和 0 g(x ) 无关，不妨设 0 0 f (x ) = g(x ) = 0 ．定义辅助函数 0 0 ( ), ( ) 0, f x x x F x x x Ï ¹ = Ì = Ó ， 0 0 ( ), ( ) 0, g x x x G x x x Ï ¹ = Ì = Ó ． 由条件1) 知函数 F(x) 与G(x) 在 0 x = x 处连续；由条件2) 知函数 F(x) 与G(x) 在 0 U (x ) o 内连续， 且G¢(x) = g¢ (x) ¹ 0 ．从而在 0 U (x ) o 内任取一点 x ，以 0 x 与 x 为端点的区间上函数 F(x) 与G(x) 满足 柯西中值定理的条件．于是，在 0 x 与 x 之间存在x ，使得 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F x F f G x G x G g x x x x - ¢ ¢ = = - ¢ ¢ ． 而 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) F x F x f x f x G x G x g x g x - - = = - -
82第三章中值定理与导数的应用f(x)'()所以（在x与x之间)：g(x)g()故由x→x时=→x及条件3)，有lm= lim= im=limC)x-og(x)-+ g()5→0 g()1→o g(x)定理2(洛必达法则II）若函数f(x)与g(x)满足下列条件：1)lim f(x)=00,lim g(x) = 00 ;→2）在x的某去心邻域U(x）内f(x)与g(x)存在，且g(x)±0；f'(x)3)limA(或为无穷大).1→% g'(x)lim=lim=4(或为无穷大)则x- g(x) → g(x)在使用洛必达法则时，应注意下面四点：1.若lm不是未定式或=时，不能使用洛必达法则1或1进行计算，这时应使用其他008g(x)方法求解2：如果用洛必达法则计算1m(所得lm(仍是或=型时，可再次使用洛必达法则 100t-o g(x)g(x)8或IⅡI进行计算，直至不是未定式为止.3.如果把洛必达法则或IⅡ中的x→x换成x→，x→，x→，x→+或x→-时，只需对洛必达法则I中的假设（2）作相应的修改，结论仍然成立4°使用洛必达法则I或IⅡI的过程中，但最好能与其他求极限的方法结合使用．例如，能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代出现的无穷小因子，出现极限不为零的因子，可用该因子极限替代，这样可以使运算简捷x3-3x+2例1求limx-x-x+1x-3x+2(%型)解lim-x-x+103x2-3(Ca)=limx-1 3x2 -2x-16x= lim-（不是未定式）*→16x-23=2:x-sinx求lim例2x3x-→0(%型)x-sinx解lim*01cOsx0(%型)=lim3x20r→0(型)sinx= limim6x0
82 第三章 中值定理与导数的应用 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) f x f g x g x x ¢ = ¢ ，(x 在 0 x 与 x 之间) ． 故由 0 x Æ x 时 0 x Æ x 及条件3) ，有 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x f x f f f x g x g x g g x x x Æ Æ x Æ x Æ ¢ ¢ ¢ = = = ¢ ¢ ¢ ． 定理 2(洛必达法则Ⅱ) 若函数 f (x) 与 g(x) 满足下列条件： 1) 0 lim ( ) x x f x Æ = • ， 0 lim ( ) x x g x Æ = • ； 2) 在 0 x 的某去心邻域 0 U (x ) o 内 f ¢ (x) 与 g¢ (x) 存在，且 g¢ (x) ¹ 0 ； 3) 0 ( ) lim ( ) x x f x A Æ g x ¢ = ¢ (或为无穷大)． 则 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x A Æ g x Æ g x ¢ = = ¢ (或为无穷大)． 在使用洛必达法则时，应注意下面四点： 1. o 若 0 ( ) lim ( ) x x f x Æ g x 不是未定式 0 0 或 • • 时，不能使用洛必达法则 I 或Ⅱ进行计算，这时应使用其他 方法求解. 2 . o 如果用洛必达法则计算 0 ( ) lim ( ) x x f x Æ g x 所得 0 ( ) lim ( ) x x f x Æ g x ¢ ¢ 仍是 0 0 或 • • 型时，可再次使用洛必达法则 I 或Ⅱ进行计算，直至不是未定式为止． 3 . o 如果把洛必达法则 I 或Ⅱ中的 0 x Æ x 换成 0 x x Æ + ， 0 x x Æ - ，x Æ • ，x Æ +• 或 x Æ -• 时， 只需对洛必达法则 I 中的假设(2)作相应的修改，结论仍然成立． 4 . o 使用洛必达法则 I 或Ⅱ的过程中，但最好能与其他求极限的方法结合使用．例如，能化简 时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代出现的无穷小因子，出现极限不为零的因子，可用该 因子极限替代，这样可以使运算简捷． 例 1 求 3 3 2 1 3 2 limx 1 x x Æ x x x - + - - + ． 解 3 3 2 1 3 2 limx 1 x x Æ x x x - + - - + ( 0 0 型) 2 2 1 3 3 limx 3 2 1 x Æ x x - = - - ( 0 0 型) 1 6 limx 6 2 x Æ x = - ( 不是未定式) 3 2 = ． 例 2 求 3 0 sin limx x x Æ x - ． 解 3 0 sin limx x x Æ x - ( 0 0 型) 2 0 1 cos limx 3 x Æ x - = ( 0 0 型) 0 sin limx 6 x Æ x = ( 0 0 型)
83第三节泰勒公式161-cos'x例3求lim-0xcosx0该极限为二型，在运用洛比达法则的过程中，分母的导数较繁，但分母出现极限不为零的因子0cosx，用该因子极限替代，这样可以达到简化计算极限的目的.1-cos'x0解（~型，用1替代分母因子cosx）lim-0 x"cosx01-cos'x(%型)= limx20H3cosxsinx02型，用1替代分子因子cos?×）= lim02xx-→03.(%型)sinxlim02 x0x3(ln x)"例4求lim（m为正整数）ox(ln.x)"(=型，变形)解limx00（=型，用公式）= lim [In x/ x/m jm8(%型)=[lim (In x/xVm)"0mm=[lim -（不是未定式）+-0-/m=(0)" =0.Intan5x例5求lim0*Intan3x5sec5xIntan5x5tan3x1+tan5xtan5x解=lim-=lim(limr>0*3sec23x3tan5x11+tan3xx->0*lntan3xrtan3x5tan3x1+tan25x5×3x1+tan25x=limlim=lim.lim=1r>0*3tan5x01+tan3xx→0*3×5xr>0*1+tan23xX0三、其它末定式的极限对于其它末定式的极限可以通过恒等变形或简单变换将它们转化为或=型，再应用洛比达法08则.1.0.8型未定式这种类型的未定式通常采用如下恒等变形
第三节 泰勒公式 83 1 6 = ． 例 3 求 3 2 2 0 1 cos lim cos x x Æ x x - ． 该极限为 0 0 型，在运用洛比达法则的过程中，分母的导数较繁，但分母出现极限不为零的因子 2 cos x ，用该因子极限替代，这样可以达到简化计算极限的目的． 解 3 2 2 0 1 cos lim cos x x Æ x x - ( 0 0 型，用 1 替代分母因子 2 cos x ) 3 2 0 1 cos limx x Æ x - = ( 0 0 型) 2 0 3cos sin limx 2 x x Æ x = ( 0 0 型，用 1 替代分子因子 2 cos x ) 0 3 sin lim 2 x x Æ x = ( 0 0 型) 3 2 = ． 例 4 求 (ln ) lim m x x Æ+• x ( m 为正整数) 解 (ln ) lim m x x Æ+• x ( • • 型，变形) 1 lim[ln ] m m x x x Æ+• = ( • • 型，用公式) 1 [ lim(ln )] m m x x x Æ+• = ( • • 型) 1 [ lim ]m m x m Æ+• x = ( 不是未定式) (0) 0 m = = ． 例 5 求 0 ln tan 5 lim x ln tan 3 x x Æ + ； 解 0 ln tan 5 lim x ln tan 3 x x Æ + 2 2 0 5sec 5 tan 5 lim 3sec 3 tan 3 x x x x x Æ + = 2 2 0 5tan 3 1 tan 5 lim( ) x 3tan 5 1 tan 3 x x x x Æ + + = × + 2 2 0 0 5tan 3 1 tan 5 lim lim x 3tan 5 x 1 tan 3 x x x x Æ + Æ + + = × + 2 2 0 0 5 3 1 tan 5 lim lim x 3 5 x 1 tan 3 x x x x Æ + Æ + ¥ + = × ¥ + =1． 三、其它末定式的极限 对于其它末定式的极限可以通过恒等变形或简单变换将它们转化为 0 0 或 • • 型， 再应用洛比达法 则． 1．0 ו 型未定式 这种类型的未定式通常采用如下恒等变形