第一章试题 判断题 1.101与1.00999·表示同一实数 2.任何两个实数之间存在无穷多个有理数.( 3.自然数集为有界集.() 4.非空有界数集的上确界可能是该数集中的最大数.() 5.狄利克雷函数是有界函数.() y=a在R上严格增加.( 7.奇函数的定义域是关于原点对称的数集.() 8.丌是y=√cosx的一个周期.() 9.对函数y=f(x),x∈D,若∫是D与∫(D)之间的一一对应,则存在反函数 x=f(y,y∈f(D),且∫(f(x)=x,x∈D.() 10.黎曼函数是初等函数.() 填空题 1.-1012145…的3位过剩近似为 2. inf(sgn x lx∈R}= ln(sinx)的定义域为 4.f(x)在其定义域D上无上界的定义可叙述为 5.利用符号函数sgnx可将x表达为 6.将函数f(x)=√x延拓到R上,使延拓后的函数为奇函数,则延拓后函数的表达式为 7.已知 x2,则f(x)= 一个函数y=f(x),x∈D的图像用集合可表示为 9.f(x)=tan2x+tan3x的最小正周期为 10.设a,b∈R,则反映土b与a,b之间的三角不等式为
第一章试题 判断题 １. 1.01 与 1.00999 表示同一实数．（ ） ２. 任何两个实数之间存在无穷多个有理数．（ ） ３. 自然数集为有界集．（ ） ４. 非空有界数集的上确界可能是该数集中的最大数．（ ） ５. 狄利克雷函数是有界函数．（ ） ６. x y a = 在 R 上严格增加．（ ） ７. 奇函数的定义域是关于原点对称的数集．（ ） ８. 是 y x = cos 的一个周期．（ ） ９. 对函数 y f x x D = ( ), ，若 f 是 D 与 f D( ) 之间的一一对应，则存在反函数 1 x f y y f D ( ), ( ) − = ，且 1 f f x x x D ( ( )) , − = ．（ ） １０. 黎曼函数是初等函数．（ ） 填空题 １. −1.012145 的 3 位过剩近似为 ． ２. inf sgn x x R = ． ３. ln(sin ) x 的定义域为 ． ４. f x( ) 在其定义域 D 上无上界的定义可叙述为 ． ５. 利用符号函数 sgn x 可将 x 表达为 ． ６. 将函数 f x x ( ) = 延拓到 R 上，使延拓后的函数为奇函数，则延拓后函数的表达式为 ． ７. 已知 1 2 f x x 1 x = − + ，则 f x( ) = ． ８. 一个函数 y f x x D = ( ), 的图像用集合可表示为 ． ９. f x x x ( ) tan 2 tan 3 = + 的最小正周期为 ． １０. 设 a b R , ，则反映 a b 与 a b, 之间的三角不等式为 ．
设∫(x)=,—,证明:(1)∫在R上严格增加; a+b 1+a 1+b 设而∈R,证明:对任意正整数n,存在有理数r,使-小 设S为R中非空有界数集,a∈R,定义a+S={a+x∈S},证明: inf(a+S=a+inf s 4.证明:函数f(x)=-于(0,1)上无界但于(a,1)上有界(0<a<1 5.证明:对任意正整数k,存在相应的实数ak,使得0<4 6.讨论符号函数sgnx的有界性,单调性与周期性 7.设A,B为R中非空数集,对任何a∈A,b∈B,有a>b,证明:infA≤supB 证明:若函数∫于数集A上严格单调,则∫于数集A上存在反函数∫,且∫于 ∫(A)上也严格单调 9.证明:函数∫于区间/单调的充分必要条件是对任意x2,x2,x3∈:x1<x2<x3,有 [(x2)-f(x)f(x3)-f(x2)20 ,证明:fn(x)=f(f(…f(x))= x 10.设f(x)= 第二章试题 判断题 1.数列是定义在全体正整数集合上的函数.() iman=a等价于:对a的任一E邻域U(a,E),只有有限多项anU(a;E) 3. lim a≠a等价于:彐a的某一E邻域U(a;E),有无穷多项angU(a;E) 4.有界数列一定收敛.() 5.无穷小数列是指绝对值很小的数列.() 6.设数列{an}与{bn}均为收敛数列,且an≤bn,则有 lim a<limb()
证明题 １. 设 ( ) 1 x f x x = + ，证明：（１） f 在 R + 上严格增加； （２） . 1 1 1 a b a b a b a b + + + + + + ２. 设 0 x R，证明：对任意正整数 n ，存在有理数 n r ，使 0 1 n r x n − ． ３． 设 S 为 R 中非空有界数集， a R，定义 a S a x x S + = + ，证明： inf( ) inf a S a S + = + ． ４．证明：函数 1 f x( ) x = 于 (0,1) 上无界但于 ( ,1) a 上有界 (0 1) a ． ５．证明：对任意正整数 k ，存在相应的实数 k a ，使得 1 0 k a k ． ６．讨论符号函数 sgn x 的有界性，单调性与周期性． ７．设 A B, 为 R 中非空数集，对任何 a A b B , ，有 a b ，证明： inf sup A B ． ８．证明：若函数 f 于数集 A 上严格单调，则 f 于数集 A 上存在反函数 1 f − ，且 1 f − 于 f A( ) 上也严格单调． ９．证明：函数 f 于区间 I 单调的充分必要条件是对任意 1 2 3 1 2 3 x x x I x x x , , : ，有 f x f x f x f x ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 1 3 2 − − １０．设 2 ( ) 1 x f x x = + ，证明： 2 ( ) ( ( ( ))) 1 n x f x f f f x nx = = + ． 第二章试题 判断题 １. 数列是定义在全体正整数集合上的函数．（ ） ２． lim n n a a → = 等价于：对 a 的任一 邻域 U a( ; ) ，只有有限多项 ( ; ) n a U a ．（ ） ３． lim n n a a → 等价于： a 的某一 邻域 U a( ; ) ，有无穷多项 ( ; ) n a U a ．（ ） ４．有界数列一定收敛．（ ） ５．无穷小数列是指绝对值很小的数列．（ ） ６．设数列 an 与 bn 均为收敛数列，且 n n a b ，则有 lim lim n n n n a b → → ．（ ）
7.一个发散的数列有可能存在一个收敛的子列.() 8. lim - lim a".lim -=lima"0=0.( 9. lima, =ao lim a, =a.( 10.若VE>0,有a<b+E,则a≤b.() 填空题 1·数列{an}收敛的柯西准则是指 2.设 lim a=a则lm-(a1+a2+…+an)= 月→0 3.设<1,则imq"= 4.收敛数列的有界性是指 5.数列{sn-}的一个发散子列为 6.单调增加有上界数列{an}的极限就是集合 的上确界 n+1 cosn 9. lim 计算题 1. lim (s>0) →H(s+1)(S+i+1) m (k为正整数) (n+1)
７．一个发散的数列有可能存在一个收敛的子列．（ ） ８． 1 lim lim lim lim 0 0 ! ! n n n n n n n a a a → → → → n n = = = ．（ ） ９． lim lim n n n n a a a a → → = = ．（ ） １０．若 0 ，有 a b + ，则 a b ．（ ） 填空题 １．数列 an 收敛的柯西准则是指 ． ２．设 lim n n a a → = 则 1 2 1 lim ( ) n n a a a → n + + + = ． ３．设 q 1 ，则 lim n n q → = ． ４．收敛数列的有界性是指 ． ５．数列 sin 2 n 的一个发散子列为 ． ６．单调增加有上界数列 an 的极限就是集合 的上确界． ７． 1 1 lim 1 1 n n n − → + = + ． ８． 2 lim n n n → n + = ． ９． 2 cos lim n n → n = ． １０． 计算题 １． 1 lim ! n n → n ． ２． 1 1 lim 0 ( )( 1) n n i s → s i s i = + + + （ ）． ３． 2 2 2 1 1 1 lim ( 1) ( ) n→ n n kn + + + + （ k 为正整数）
m (c>0且c≠1) n→H(n+1) 6. lim w/n2 3++ a+a +...+a (0<aB<1 √s, 证明题 1.设lman=a>c,则彐N,stn>N时,an>c 2.设!man≠a,则三>0及{n}的一个子列{a},使a(a5)(n=12,…n 设S为有界数集。证明:若infS=BS,则存在严格减少数列{an}cS,使得 lim a,=B 4.设a_cos1cos^x”3”,则{an}收敛 cos n 5.若an>0且 lima=q<1,则 J lim a=0 n→c 6.设a=1 则lir l!2! 若xn>0且lim==a,则 lim v/x=a →x 8.设0<xn<1,xn1(-xn)2元,则lmx。1 9.设√2-1<x,耳水·则lmx=√2-1
４． 2 2 1 1 1 lim 1 1 1 2 2 2 n n→ + + + ． ５． lim ( 1) n n c → n n + （ c 0 且 c 1 ）． ６． 2 lim n n n → ． ７． 2 2 4 2 lim 3 3 3n n n → + + + ． ８． ( ) 3 3 lim 1 n n n → + − ． ９． 2 2 lim (0 , 1) n n n → + + + + + + ． １０． 1 1 , ( 0) n n a s a sa s = = + ，求 lim n n a → ． 证明题 １．设 lim n n a a c → = ，则 N n N ,s.t. 时， n a c ． ２．设 lim n n a a → ，则 0 0 及 an 的一个子列 akn ，使 0 ( ; ) ( 1,2, , ) n k a U a n n = ． ３．设 S 为有界数集．证明：若 inf S S = ，则存在严格减少数列 a S n ，使得 lim n n a → = ． ４．设 2 cos1 cos 2 cos 3 3 3 n n n a = + + + ，则 an 收敛． ５．若 0 n a 且 lim 1 n n n a q → = ，则 lim 0 n n a → = ． ６．设 1 1 1 1 1! 2! ! n a n = + + + + ，则 lim n n a e → = ． ７．若 0 n x 且 1 lim n n n x a x + → = ，则 lim n n n x a → = ． ８．设 0 1 n x ， 1 1 (1 ) 4 n n x x + − ，则 1 lim 2 n n x → = ． ９．设 1 2 1 1 − x ， 1 1 2 n n x x + = + ，则 lim 2 1 n n x → = − ．
10.设x,>0,xn1+-<2,则 limx=1 第三章试题 判断题 limf(x)存在与否与∫在点a的取值有关.() 2.若lm(f(x)-g(x)),则Iimf(x)=limg(x).() 3.设∫在点a的某邻域内单调增加,且limf(x)=A,limf(x)=B,则A≤B.( 4.o(x2)=o(x)(x→>0).( 5.若在点a的某去心邻域内成立f(x)≤(x)≤g(x),且Iim(f(x)-g(x)=0,则 limh(x)存在.( 6·设∫在(an,+∞)内有定义,若存在{x}0,+∞),使Imxn=+∞,limf(xn)=A, 则limf(x)=A.() 7.因为当x→0时,sinx~x,tanx~x,所以lim nx-tan x =0.( 8.设f(x)=O(g(x)(x→>x0),则f(x)=O(g(x))(x→x0) 9.若可以找到一个以x为极限的数列{xn},使!imf(x)不存在,则lmf(x)不存 在 10.Iimf(x)不存在,但有可能limf(x),limf(x)都存在.() x→10 x→0 1. lim xsin 2. lim arctan lim x-x= (n为正整数) 4.设Imf(x)=A,则lm
１０．设 0 n x ， 1 1 2 n n x x + + ，则 lim 1 n n x → = ． 第三章试题 判断题 １. lim ( ) x a f x → 存在与否与 f 在点 a 的取值有关．（ ） ２．若 lim( ( ) ( )) x a f x g x → − ，则 lim ( ) lim ( ) x a x a f x g x → → = ．（ ） ３．设 f 在点 a 的某邻域内单调增加，且 lim ( ) x a f x A → − = ，lim ( ) x a f x B → + = ，则 A B ．（ ） ４． 2 o x o x x ( ) ( ) ( 0) = → ．（ ） ５．若在点 a 的某去心邻域内成立 f x h x g x ( ) ( ) ( ) ，且 lim( ( ) ( )) 0 x a f x g x → − = ，则 lim ( ) x a h x → 存在．（ ） ６．设 f 在 ( , ) a + 内有定义，若存在 (0, ) n x + ，使 lim n n x → = + ，lim ( ) n n f x A → = ， 则 lim ( ) x f x A →+ = ．（ ） ７．因为当 x →0 时， sin , tan x x x x ，所以 2 2 0 0 sin tan lim lim 0 x x x x x x → → x x − − = = ．（ ） ８. 设 0 f x o g x x x ( ) ( ( )) ( ) = → ，则 0 f x O g x x x ( ) ( ( )) ( ) = → ．（ ） ９．若可以找到一个以 0 x 为极限的数列 xn ，使 lim ( ) n n f x → 不存在，则 0 lim ( ) x x f x → 不存 在．（ ） １０． 0 lim ( ) x x f x → 不存在，但有可能 0 0 lim ( ), lim ( ) x x x x f x f x → → + − 都存在．（ ） 填空题 １. 1 lim sin x x → x = ． ２． 0 arctan lim x x → x = ． ３． lim [ ] x n x x → + − = ．（ n 为正整数） ４．设 lim ( ) x f x A →+ = ，则 0 1 lim x f x → + = ．