63.0泰勒公式:引言 逼近思想(微分及其局限) 什么是泰勒多项式? 什么是泰勒公式? 什么是麦克芳林公式?
6.3.0 泰勒公式:引言 • 逼近思想（微分及其局限) • 什么是泰勒多项式？ • 什么是泰勒公式？ • 什么是麦克劳林公式？
63.1泰勒公式:泰勒多项式 定义:设/在x有直到n阶的导数,称 Z(1)=()=∑ x1- h! 为/在石处的n次泰勒多项式 问:1.Z(x)有什么特点? 2.m(x)与f有什么关系?
6.3.1 泰勒公式：泰勒多项式 泰勒公式：泰勒多项式 泰勒公式：泰勒多项式 泰勒公式：泰勒多项式 0 ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ; ) ( ) ( ) ! . ( ) ? 2. ( ) n k k n n k n n f x n f x T f x T x x x k f x n T x T x f = = = − ∑ 设 在 有直到 阶的导 次 数，称 为 在 处的 1. 泰勒 有什么特点 与 有什么关 多 ？ 式 系 项 定义 : 问 :
632泰勒公式:佩亚诺型余项(1) 如何刻画R2(x)=f(x)-Zn(x)呢 定理:设∫在x有直到n阶的导数,则 (x)=m(x)+o(x-10)")(x→>x0) 且任何不与Z(x)相等的n次多项式都不 能取代m(x)使上式成立
6.3.2 泰勒公式：佩亚诺型余项 泰勒公式：佩亚诺型余项 泰勒公式：佩亚诺型余项 泰勒公式：佩亚诺型余项(1） 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . n n n n n n R x f x T x f x n f x T x x x T x T x x x n o = − = + → − 如何刻画 呢？ 设 在 有直到 阶的导数，则 且任何不与 相等的 次多项式都不 能取代 使上式成立 定理 :
63.2泰勒公式:佩亚诺型余项(2) 注: 1.若f(x)在石附近满足 f(x)=p2(x)+o(x-x))(x→>1) 则p(x)未必就是f(x)在x处的泰勒多项式 Z(r) 例:x)=x"D(x),n∈N 2.满足/(x)=n(x)+(x-x)”)(x→石) 的多项式p(x)是唯一的
6.3.2 泰勒公式：佩亚诺型余项（ 泰勒公式：佩亚诺型余项（ 泰勒公式：佩亚诺型余项（ 泰勒公式：佩亚诺型余项（2） 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) . n n n n n n n f x x f x p x o x x x x p x f x x T x f x p x o x x x x p x = + − → = + − → 若 在 附近满足 则 未必就是 在 处的泰勒多项式 满足 的多项式 是唯一的 注： 1. 2. 例 : n+1 + f(x) = x D(x), n ∈ N
633泰勒公式:拉格朗日型余项 定理:设∫在[a,b上存在直到n阶的连续导数 在(a2b)内存在m+1阶导数,则对xx∈[ab 存在一点ξ∈(a,b),使得 n+1) 1(0x)=n(x)+ (2) 刀+1 (n+1) 注:上式中的余项称为拉格朗日型余项
6.3.3 泰勒公式：拉格朗日型余项 泰勒公式：拉格朗日型余项 泰勒公式：拉格朗日型余项 泰勒公式：拉格朗日型余项 0 ( 1) 1 0 [ , ] , 1 , [ , ], , ( ) ( ) ( ) ( ) . ( 1)! n n n f a b n a b n x x a b a b f f x T x x x n+ ξ ξ + + + ∀ ∈ ∈ = + − 设 在 上存在直到 阶的连续导数, 在( )内存在 阶导数,则对 存在一点 ( ),使得 上式中的余项称为拉格朗日型余项. 定理 : 注：