第三章中值定狸与导数的应用 §31微分中值定理 §32洛必达法则 §33泰勒公式 §34函数的单调性与曲线的凹凸性 §35函数的极限与最大值最小值 §36函数图形的描绘
1 第三章 中值定理与导数的应用 §3.1 微分中值定理 §3.2 洛必达法则 §3.3 泰勒公式 §3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 §3.5 函数的极限与最大值最小值 §3.6 函数图形的描绘
§3.1微分中值定理 罗尔(Roll定理 费马引理 设函数f(x)在点x的某邻域U(x)内有定义, 并且在x处可导,如果对任意的∈U(x0)有 f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0) 那么f"(x0)=0
2 §3.1 微分中值定理 一 罗尔(Rolle)定理 费马引理 ( ) 0. ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 = f x f x f x f x f x x x U x f x x U x 那 么 或 并且在 处可导，如果对任意的 ， 有 设函数 在 点 的某邻域 内有定义
罗尔(Roll定理 设函数∫(x)满足下列条件: (1)在闭区间{a,b上连续; (2)在开区间(a,b)内可导; (3)f(a)=∫(b); 则在(a,b)内至少存在一点,使得f(4)=0
3 罗尔(Rolle)定理 设函数 ƒ(x) 满足下列条件: (1) 在闭区间 [a , b]上连续； (2) 在开区间 (a, b)内可导； (3) ƒ(a) = ƒ(b)； 则在 (a,b)内至少存在一点 ，使得 f ( ) = 0
几何解释: C y=∫(x 在曲线弧AB上至少有 点C,在该点处的切线是 水平的 s2 bx 4
4 几何解释: a 1 2 b x y o y = f (x) . , 水平的 点 在该点处的切线是 在曲线弧 上至少有一 C AB C
因f(x)在闭区间[a,b上连续,由最大值与最小值 定理知,f(x)在[ab]上必有最大值M和最小值m 下面分两种情形讨论: (1)若M=m,则f(x)在[,b上恒为常数.从而 对于x∈(a,b),恒有f(x)=0 故在(a,b)内的每一点都可取作S定理显然成立
5 因 f(x) 在闭区间 [a,b]上连续，由最大值与最小值 定理知， f(x) 在 [a,b]上必有最大值 M和最小值 m. 下面分两种情形讨论: (1) 若 M = m, 则 ƒ(x)在 [a , b]上恒为常数. 从而 对于x(a,b)，恒有 f (x) = 0. 故在 (a , b)内的每一点都可取作 ξ. 定理显然成立. 0 y x y=M a b 证明：