第三节三重积分的计算法 三重积分∫9(0y,2)b可以用 直角坐标、柱面坐标和球面坐标 来计算 其方法都是将三重积分化为三次积分
第三节 三重积分的计算法 三重积分 可以用 直角坐标、柱面坐标和球面坐标 来计算. 其方法都是将三重积分化为三次积分. f x y z dv ( , , )
利用直角坐标计算三重积分 体积元素dhv=ddvz f(x,y, z)dv=llf(x,y, z)dxdydz
一 利用直角坐标计算三重积分 体积元素 dv dxdydz = f x y z dv f x y z dxdydz ( , , ) ( , , ) =
设Ω如图将Ω向xoy面投影, z=2(x,y) 得D,以Dn的边界为 准线母线平行于z轴 的柱面把g分为下上 两个边界: 21 z=Z(x,y) z=21(x1y) z=22(x,y y=y yDy (1, y)vy=y2(x) V(x,y)∈D3z从z1(x,y)变到2(x,y
得 ,以 的边界为 准线母线平行于z轴 的柱面把 分为下上 两个边界： D xy ( ) ( ) 1 2 , , z z x y z z x y = = 设 如图,将 向xoy面投影， D xy x O y z a b ( , ) x y 1 y y x = ( ) 2 y y x = ( ) D xy 1 z 2 z 1 S 2 S 1 z z x y = ( , )2 z z x y = ( , ) O y z a b ( , ) x y 1 y y x = ( ) 2 y y x = ( ) D xy 1 z 2 z 1 S 2 S 1 z z x y = ( , )2 z z x y = ( , ) O y z a b ( , ) x y 2 y y x = ( ) D xy 1 z 2 z 1 S 2 S 1 z z x y = ( , )2 z z x y = ( , ) x O y z a b ( , ) x y 1 y y x = ( ) 2 y y x = ( ) D xy 1 z 2 z 1 S 2 S 1 z z x y = ( , )2 z z x y = ( , ) O y z a b ( , ) x y 1 y y x = ( ) 2 y y x = ( ) D xy 1 z 2 z 1 S 2 S 1 z z x y = ( , )2 z z x y = ( , ) O y z a b ( , ) x y 2 y y x = ( ) D xy 1 z 2 z 1 S 2 S 1 z z x y = ( , )2 z z x y = ( , ) x O y z a b ( , ) x y 1 y y x = ( ) 2 y y x = ( ) D xy 1 z 2 z 1 S 2 S 1 z z x y = ( , )2 z z x y = ( , ) O y z a b ( , ) x y 1 y y x = ( ) 2 y y x = ( ) D xy 1 z 2 z 1 S 2 S 1 z z x y = ( , )2 z z x y = ( , ) O y z a b ( , ) x y 2 y y x = ( ) D xy 1 z 2 z 1 S 2 S 1 z z x y = ( , )2 z z x y = ( , ) ( x y D z z x y z x y , , , , , ) xy 从 1 2 ( )变到 ( )
于是,积分区域可表示为 g2:z1(x,y)≤x≤2(x,y)(x,y)∈Dy 则 f(x,y,)h(先一后二) z2(x,y) x,y,)dz ]didi 1(x,y)
2 1 ( , ) ( , ) ( , , ) [ ( , , ) ] xy z x y z x y D f x y z dv f x y z dz dxdy = 则 ( ) ( ) ( ) 1 2 : , , , , xy z x y z z x y x y D 于是，积分区域可表示为 (先一后二）
∫∫(x,y,2h=』 z2(x,y) f(x, y, z)dzjdxdy GI(x,y) 根据D是X型域或Y型域确定二重积分的 积分限,就得到三重积分公式 若D为X型域,则有 ∫9 df吗2(x) (x,y) y~∫(x,y,x)d q1(x) (x,y) 这是先对z,次对y,最后对x的三次积分
根据D是X型域或Y型域确定二重积分的 积分限，就得到三重积分公式. 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) b x z x y a x z x y f x y z dv dx dy f x y z dz = 若D为X型域，则有 这是先对z，次对y，最后对x的三次积分 2 1 ( , ) ( , ) ( , , ) [ ( , , ) ] xy z x y z x y D f x y z dv f x y z dz dxdy =