第 实数集与函数 内容提要 实数 1.实数包括有理数和无理数有理数可用分数(p、q为互质整数,q≠0)表示,也可用有限十 进小数或无限十进循环小数表示,√是首先遇到的无理数,它与古希腊时期所发现的不可公 度线段理论有直接联系,且可以表示为无限十进不循环小数 实数的无限十进小数表示在人类实践活动中被普遍采用,我们是由无限十进小数表示出发 来阐述实数理论的 2.若x=a·a1a2…an…为非负实数,称有理数 xn=a0·a1a2“”a 为实数x的n位不足近似,而有理数 称为x的n位过剩近似,n=0,1,2,… 3.在数学分析课程中不等式占有重要的地位,在后继课程中,某些不等式可以成为某个研究方 向的基础,数学归纳法是证明某些不等式的重要工具 、数集·确界原理 1.邻域是数学分析中重要的基本概念,某点的邻域是与该点靠近的数的集合,它是描述极限概 念的基本工具 在无限区间记号(-∞,a],(-∞,a),[a,+∞),(a,+∞),(-∞,+∞)中出现的一∞与+ ∞仅是常用的记号,它们并不表示具体的数,在数学分析课程范围内,不要把+∞,-∞,∞ 当作数来运算
书 第一章 实数集与函数 内容提要 一!实数 !" 实数包括有理数和无理数!有理数可用分数 " # !""#为互质整数##"#$表示#也可用有限十 进小数或无限十进循环小数表示!!$是首先遇到的无理数#它与古希腊时期所发现的不可公 度线段理论有直接联系#且可以表示为无限十进不循环小数! 实数的无限十进小数表示在人类实践活动中被普遍采用#我们是由无限十进小数表示出发 来阐述实数理论的! $" 若$%%#%%!%$&%&&为非负实数#称有理数 $&%%#%%!%$&%& 为实数$的& 位不足近似#而有理数 $&%$&& ! !#& 称为$的& 位过剩近似#&%##!#$#&! ’" 在数学分析课程中不等式占有重要的地位#在后继课程中#某些不等式可以成为某个研究方 向的基础!数学归纳法是证明某些不等式的重要工具! 二!数集"确界原理 !" 邻域是数学分析中重要的基本概念!某点的邻域是与该点靠近的数的集合#它是描述极限概 念的基本工具! 在无限区间记号!()#%’#!()#%$#(%#&)$#!%#&)$#!()#&)$中出现的()与& )仅是常用的记号#它们并不表示具体的数!在数学分析课程范围内#不要把&)#()#) 当作数来运算! %!%
数学分析同步辅导及习题全解(上册) 2.有界集和无界集是本章中关键的橛念,要熟练掌握验证某个数集S是有界集或无界集的方 法,其中重要的是证明数M不是数集S的上界(或下界)的方法 3.确界是数学分析的基础严格化中的重要的概念,上(下)确界是最大(小)数在无限数集情况 下的推广, 确界概念有两种等价的叙述方法,以上确界为例 设S是R中一个数集,若数n满足 (1)(1)对一切x∈S,有x≤,则y是S的上界 (ⅱ)对任意a<η存在x∈S,使得xa>a,则η又是S的最小上界 或 (2)(1)对一切x∈S,有x≤则n是S的上界; ()对任意e>0,存在xo∈S,使得xo>-e,则n又是S的最小上界 这两种定义是等价的.(2)中的-∈相当于(1)中的a.在上述定义中可以限定<e,其中 eo为充分小的正数.定义(2)在某些证明题中使用起来更方便些 4.确界原理:设S是非空数集,若S有上界,则S必有上确界;若S有下界,则S必有下确界 确界原理是实数系完备性的几个等价定理中的 函数及其性质 1.邻域 (1)U(a,)=(a-8,a+a)称为a的♂邻域,其中>0. (2)U(a;0)=(a-8,a)U(a,a+8)={x|0<|x-a|<a}称为a的空心δ邻域,其中>0. (3)U;(a)=(a,a+f和U(a)=(a-f,a)分别称为a的右邻域和左邻域,其中f>0 2.确界 设给定数集S (1)上确界若存在数满足1)x≤yx∈S;2)Hx<都存在x∈S,使x0>x,则称n 为S的上确界,记为=8gx (2)下确界若存在数,满足1)x≥,Wx∈S;2)P>,都存在y∈S,使y<B,则称为 S的下确界,记为v=inf (3)确界原理①非空有上(下)界的数集,必有上(下)确界.②若数集有上(下)确界,则上 (下)确界一定是惟一的 3.函数 (1)函数定义 给定两个非空实数集D和M,若有一个对应法则f,使D内每一个数x,都有惟一的一 个数y∈M与它对应,则称∫是定义在D上的一个函数,记为y=f(x),x∈D,并称D 为函数的定义域,称f(D)={yy=f(x),x∈D}(cM)为函数的值域 (2)几个重要的函数 ①分段函数 函数在其定义域的不同部分用不同公式表达的这类函数,常称为分段函数 ②符号函数
数学分析同步辅导及习题全解#上册$ $" 有界集和无界集是本章中关键的概念!要熟练掌握验证某个数集’ 是有界集或无界集的方 法#其中重要的是证明数 ( 不是数集’ 的上界!或下界$的方法! ’" 确界是数学分析的基础严格化中的重要的概念!上!下$确界是最大!小$数在无限数集情况 下的推广! 确界概念有两种等价的叙述方法#以上确界为例) 设’是) 中一个数集#若数!满足 !!$ !!$对一切$#’#有$$!#则!是’ 的上界* ’!"$对任意"%!#存在$##’#使得$#&"#则!又是’ 的最小上界 ( ) ! 或 !$$ !!$对一切$#’#有$$!#则!是’ 的上界* ’!"$对任意#&##存在$##’#使得$#&!(##则!又是’ 的最小上界 ( ) ! 这两种定义是等价的!!$$中的!(#相当于!!$中的"!在上述定义中可以限定#%###其中 ## 为充分小的正数!定义!$$在某些证明题中使用起来更方便些! *" 确界原理)设’是非空数集#若’有上界#则’必有上确界*若’有下界#则’必有下确界! 确界原理是实数系完备性的几个等价定理中的一个! 三!函数及其性质 !" 邻域 !!$*!%#$$%!%($#%&$$称为%的$邻域#其中$&#! !$$*+!%*$$%!%($#%$*!%#%&$$%+$+#%+$(%+%$,称为%的空心$邻域#其中$&#! !’$*+ & !%$%!%#%&,$和*+ ( !%$%!%(,#%$分别称为%的右邻域和左邻域#其中,&#! $" 确界 设给定数集’! !!$上确界 若存在数!#满足!$ $$!#,$# ’*$$,$%!#都存在$##’#使$#&$#则称! 为’的上确界#记为!%+,-$#’ $! !$$下确界 若存在数%#满足!$$-%#,$#’*$$,&&%#都存在-##’#使-#%&#则称%为 ’ 的下确界#记为!%./0$$#’ ! !’$确界原理 #非空有上!下$界的数集#必有上!下$确界!$若数集有上!下$确界#则上 !下$确界一定是惟一的! ’" 函数 !!$函数定义 给定两个非空实数集 . 和 (#若有一个对应法则,#使 . 内每一个数$#都有惟一的一 个数-#( 与它对应#则称,是定义在. 上的一个函数#记为-%,!$$#$#.#并称 . 为函数的定义域#称,!.$%+-+-%,!$$#$#.,!.($为函数的值域! !$$几个重要的函数 #分段函数 函数在其定义域的不同部分用不同公式表达的这类函数#常称为分段函数! $符号函数 %"%
第一章实数集与函数 .:r gn(x)=」0, ③狄利克雷函数 1,当x为有理数 0,当x为无理数 ④黎曼函数 R(x)-(7当x=,9∈N分为既约分数 0,当x=0,1和(0,1)中的无理数 ⑤复合函数 y=f(g(x)),x∈E 其中y=f(a),a∈D,n=g(x),x∈E,E={xlg(x)∈D}nE,E≠O (3)反函数 已知函数u=f(x),x∈D.若对vy∈f(D),在D中有且只有一个值x0,使得f(xo)= yo,则按此对应法则得到一个函数x=f1(y),y∈f(D),称这个函数厂1:f(D)→D为 f的反函数 4)初等函数 ①基本初等函数常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这六类 函数称为基本初等函数 ②初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数,统称为初 等函数 ③凡不是初等函数的函数,都称为非初等函数 4.有界性 设y=f(x),x∈D (1)若存在数M,使f(x)≤M,x∈D,则称∫是D上的有上界的函数 2)若存在数L,使f(x)≥L,Hx∈D,则称f是D上的有下界的函数. (3)若存在正数C,使|f(x)|≤C,则称f是D上的有界函数 (4)若对任意数M,都存在x0∈D,使f(xo)>M,则称∫是D上的无上界函数,类似可定义 无下界及无界函数 5.单调性 设y=f(x),x∈D,若对x1,x2∈D,x1<x2,有 (1)f(x1)≤f(x2),则称∫在D上是递增函数 2)f(x1)<f(x2),则称∫在D上是严格递增函数 类似可定义递减函数与严格递减函数 6.奇偶性 设D是对称于原点的数集,y=f(x),x∈D. (1)若Vx∈D,都有f(-x)=f(x),则称f(x)是偶函数 (2)若x∈D,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)是奇函数
第一章 实数集与函数 +1/!$$% !# $&# ## $%# (!# $% ’ ( ) # %狄利克雷函数 .!$$% !#当$为有理数 +##当$为无理数 &黎曼函数 )!/$% ! ##当$%" # #"###0& " # 为既约分数 ##当$%##!和!##!$ ’ ( ) 中的无理数 ’复合函数 -%,!1!$$$#$#2/ 其中-%,!3$#3#.#3%1!$$#$#2#2/ %+$+1!$$#.,&2#2"4 !’$反函数 已知函数3%,!$$#$#.!若对,-##,!.$#在 . 中有且只有一个值$##使得,!$#$% -##则按此对应法则得到一个函数$%,(!!-$#-#,!.$#称这个函数,(!2,!.$0. 为 , 的反函数! !*$初等函数 #基本初等函数 常量函数"幂函数"指数函数"对数函数"三角函数"反三角函数这六类 函数称为基本初等函数! $初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数#统称为初 等函数! %凡不是初等函数的函数#都称为非初等函数! *" 有界性 设-%,!$$#$#. !!$若存在数 (#使,!$$$(#,$#.#则称,是. 上的有上界的函数! !$$若存在数5#使,!$$-5#,$#.#则称,是. 上的有下界的函数! !’$若存在正数6#使+,!$$+$6#则称,是. 上的有界函数! !*$若对任意数 (#都存在$##.#使,!$#$&(#则称,是. 上的无上界函数#类似可定义 无下界及无界函数! 3" 单调性 设-%,!$$#$#.#若对,$!#$$#.#$!%$$#有 !!$,!$!$$,!$$$#则称,在. 上是递增函数! !$$,!$!$%,!$$$#则称,在. 上是严格递增函数! 类似可定义递减函数与严格递减函数! 4" 奇偶性 设 . 是对称于原点的数集#-%,!$$#$#.! !!$若,$#.#都有,!($$%,!$$#则称,!$$是偶函数! !$$若,$#.#都有,!($$%(,!$$#则称,!$$是奇函数! %#%
数学分析同步辅导及习题全解(上册) (3)奇函数图象关于原点对称,偶函数图像关于纵轴对称 7.周期性 (1)设y=f(x),x∈D,若存在正数k,使f(x±k)=f(x),x∈D.则称f(x)为周期函数,k 称为∫的一个周期 (2)若f的所有周期中,存在一个最小周期,则为∫的基本周期 身典型例题与解题技巧 【例1】设f(x)在[-a,a]上有定义,证明f(x)在[-a,a]上可表示为奇函数与偶函数的和 分析本题主要考察奇函数、偶函数的定义,采用枃造法解题, 证明设f(x)=G(x)+H(x),其中G(x),H(x)分别为奇、偶函数,于是 f(-x)=G(-x)+H(-x)=-G(x)+H(x f(x)=G(x)+H(x) 由之可得G(x)=(x)=(=x),H(x)=f(x)+(=x2 这里G(x),H(x)分别是奇函数和偶函数 【例21求数集S-{1+2=|n∈N+}的上、下确界 解题分析当n=2k时,√1+2x=2 容易看出k=1时,2 是偶数项中的最大数 当=24+1时,“y+2my+>1,当k充分大时,奇数项与数1充分影 近因为2√1+5是S中最大数,于是pS-5由上面分析可以看出i(S 解题过程因为5是S中最大数,于是supS=√5,再证infS=1,这是因为 (i)￥n,√1+2m-1≥1 1等式 于是vc>,3∈N+(只要h>(e-1)使得 1≤ 【例3】设函数f(x)定义在区间I上,如果对于任何x1,x2∈I,及A∈(0,1),恒有fAx1+(1-A) 证明:在区间I的任何闭子区间上f(x)有界 分析本题主要考察函数的有界性,要充分利用已知条件给出的不等式,积极构造出类似的不等
数学分析同步辅导及习题全解#上册$ !’$奇函数图象关于原点对称#偶函数图像关于纵轴对称! 5" 周期性 !!$设-%,!$$#$#.#若存在正数7#使,!$67$%,!$$#,$#.!则称,!$$为周期函数#7 称为, 的一个周期! !$$若,的所有周期中#存在一个最小周期#则为,的基本周期! 典型例题与解题技巧 %例!& 设,!$$在((%#%’上有定义#证明,!$$在((%#%’上可表示为奇函数与偶函数的和! 分析 本题主要考察奇函数"偶函数的定义#采用构造法解题! 证明 设,!$$%8!$$&9!$$#其中8!$$#9!$$分别为奇"偶函数#于是 ,!($$%8!($$&9!($$%(8!$$&9!$$ 而 ,!$$%8!$$&9!$$ 由之可得 8!$$%,!$$(,!($$ $ #9!$$%,!$$&,!($$ $ 这里8!$$#9!$$分别是奇函数和偶函数! %例"& 求数集’% & !!&$&!(!$& + �& ,的上"下确界! 解题分析 当&%$7时# $7 !!&$$7 %$ $7 !& ! ! $$7 #容易看出7%!时#$ !& ! ! $$ 是偶数项中的最大数! 当&%$7&!时# $7&! !!&$(!$7&!$ % $7&! !& ! ! $$7&! &!#当7充分大时#奇数项与数!充分靠 近!因为$ !& ! ! $$ %!3是’中最大数#于是+,-’%!3#由上面分析可以看出./0’%!! 解题过程 因为!3是’中最大数#于是+,-’%!3!再证./0’%!#这是因为 !!$,&# & !!&$&!(!$& -!* !"$设%% $7&! !& ! ! $$7&! #由等式%&(!%!%(!$!%&(!&%&($&&&!$可知 $7&! !& ! ! $$7&! (!% ! $$7&! %$7 &%$7(!&&&!$ ! $$7&! 于是,#&##17##0& 只要7#& ! $ 781$ ! # ! ! (!$$$#使得 $7#&! !& ! ! $$7#&! (!$ ! $$7#&! %# 即 $7#&! !& ! ! $$7#&! %!&# %例#& 设函数,!$$定义在区间:上#如果对于任何$!#$$ #:#及’#!##!$#恒有,(’$!&!!(’$ $$’$’,!$!$&!!(’$,!$$$! 证明)在区间:的任何闭子区间上,!$$有界! 分析 本题主要考察函数的有界性#要充分利用已知条件给出的不等式#积极构造出类似的不等 %$%
第一章实数集与函数 .:r 式,以证出结论 证明￥[a,bcI,x∈(a,b),则存在A∈(0,1),使x=a+a(b-a) 有 由已知不等式有 f(x)=Lab+(1-x)a]saf(b)+(1-A)f(a)<aM+(1-A)M=M f(x),f(b)} x∈[a,b],令y=(a+b)-x,那么 f(x)≥2(+b)-M=m 由①,②两式可知 m≤f(x)≤M,Vx∈(a,b) 再由M的定义,可知f(x)≤M,Vx∈[a,b] 若令 ≤f(x)≤M,x∈[a,b] 即f(x)在[a,b]上有界 历年考研真题评析 【题1】(北京大学,2005年)设f(x)在[a,b上无界,求证:3C∈[a,b],使得对E>0,f(x)在(e-E,c +e)∩[a,b上无界 分析本题采用闭区间套定理证明 证明取a,b中点十,则[a,4+],[g+b,b中至少有一个区间使f(x)无界(如果两个都是可任 取一个),记为[a1,b1]. 再取中点当么,又可得区间[a2]使f(x)在其上无界,这样继续下去有 [a,b]2[a1,b1]2[a2,b]=…[an,b]2… 使f(x)在每个区间上无界 由区间套原理,存在C= lim a= lim b,则C∈[a,b],而对Ⅴc>0,当n充分大时,有 故f(x)在(c-E,c+e)n[a,b上无界 【题2】(甘肃工业大学,2006年)有下列几个命题 (1)任何周期函数一定存在最小正周期 (2)[x]是周期函数 (3)sin√x不是周期函数 (4) rcosT不是周期函数 其中正确的命题有() A.1个 B.2个 D.4个
第一章 实数集与函数 式#以证出结论! 证明 ,(%#;’.:#,$#!%#;$#则存在’#!##!$#使$%%&’!;(%$ 有 $%’;&!!(’$% 由已知不等式有 ,!$$%,(’;&!!(’$%’$’,!;$&!!(’$,!%$$’(&!!(’$(%( # 其中 (%9:;+,!$$#,!;$, ,$#(%#;’#令-%!%&;$($#那么 %&; $ %$&- $ ,!%&; $ $%,!$ $ &- $$$ ! $,!$$& ! $,!-$$ ! $,!$$& ! $( < ,!$$-$,!%&; $ $((%<! $ 由##$两式可知 <!$,!$$$(#,$#!%#;$ 再由 ( 的定义#可知,!$$$(#,$#(%#;’ 若令 <%9./+,!%$#,!;$#<!,#则 <$,!$$$(#,$#(%#;’ 即,!$$在(%#;’上有界! 历年考研真题评析 %题!& !北京大学#$##3年$设,!$$在(%#;’上无界#求证)16#(%#;’#使得对,#&##,!$$在!#(##= &#$2(%#;’上无界! 分析 本题采用闭区间套定理证明! 证明 取%#;中点%&; $ #则(%#%&; $ ’#(%&; $ #;’中至少有一个区间使,!$$无界!如果两个都是可任 取一个$#记为(%!#;!’! 再取中点%!&;! $ #又可得区间(%$#;$’#使,!$$在其上无界#这样继续下去有 (%#;’3(%!#;!’3(%$#;$’3&3(%&#;&’3& 使,!$$在每个区间上无界! 由区间套原理#存在6%7.9&0) %&%7.9&0) ;&#则6#(%#;’#而对,#&##当&充分大时#有 !=(##=&#$2(%#;’3(%&#;&’ 故,!$$在!=(##=&#$2(%#;’上无界! %题"& !甘肃工业大学#$##4年$有下列几个命题) !!$任何周期函数一定存在最小正周期! !$$($’是周期函数! !’$+./!$不是周期函数! !*$$=8+$不是周期函数! 其中正确的命题有! $! >"!个 ?"$个 @"’个 A"*个 %%%