第二节二重积分的计算法 利用直角坐标计算二重积分 S/(x,y)do 面积元素dO=axah 利用几何意义计算二重积分(求曲顶柱体的体积)
第二节 二重积分的计算法 ( , ) D f x y d 一 利用直角坐标计算二重积分 利用几何意义计算二重积分（求曲顶柱体的体积）。 面积元素 d dxdy = x y
积分区域 Ⅹ型区域 y型区域 D:a(x)ys(x) assad:w()≤xsv(y)csy≤d y x=v) D D ot a b x x y x=y2 D v1() D O x
积分区域 0 a b x ( ) ( ) 1 2 y x D y x = = y 0 a b x ( ) y (x) D y x 2 1 = = y D x y x a x b : , 1 2 ( ) ( ) X-型区域 1 x y = ( ) 2 x y = ( ) y O x D d c c d 1 x y = ( ) 2 x y = ( ) O x y D D y x y c y d : , 1 2 ( ) ( ) Y-型区域 0 a b x ( ) ( ) 1 2 y x D y x = = y c d 1 x y = ( ) 2 x y = ( ) O x y D c d 1 x y = ( ) 2 x y = ( ) O x y D 1 x y = ( ) 2 x y = ( ) y O x D d c 1 x y = ( ) 2 x y = ( ) y O x D d c
设D(X型):m(x)≤y≤仍2(x),a≤x≤b 利用平行截面面积已知,求立体体积的方法: 取∈[b],则有曲边梯形4(x) 二=f(x,y) q2(x0 1(x0 将x换成x,得 A(xo y=2(x) b =4(x) y=pI b 卯2 f(r, y)ay q1( ∫(xyh=af(x,y(先对后x积分) D
z f x y = ( , ) 2 y x = ( ) 1 y x = ( ) x y z a x0 b 0 A x( ) O 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) b x a x D f x y dxdy dx f x y dy = 设D（X型）： 1 2 ( x y x ) ( ), a x b ( ) ( ) ( ) 2 0 ( ) 1 0 0 0 , x x A x f x y dy = 取x a b A x 0 0 , : ，则有曲边梯形 ( ) (先对y后x积分) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 0 , b a b x a x x x V A x dx f x y dy dx = = 将 换成 ，得 利用平行截面面积已知,求立体体积的方法:
若D(X型):m(x)≤y≤仍2(x),a≤x≤b 则f(xn)db=m,(xy(先y后x积分) 若D为(Y型):v1(y)≤x≤v2(y),c≤y≤d 则(x,y)b=」-(x,yx(先对x后y积分) 求二重积分的方法: 将二重积分化为两个定积分(二次积分)来计算
若D为（Y型）： 1 2 ( y x y ) ( ), c y d 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) d y c y D f x y dxdy dy f x y dx = 则 (先对x后y积分) 求二重积分的方法： 将二重积分化为两个定积分（二次积分）来计算 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) b x a x D f x y dxdy dx f x y dy y x = 则 先 后 积分 若D（X型）： 1 2 ( x y x ) ( ), a x b
若D不是X型(或Y型),则将D分为几个区域, 使它们为X型(或Y型),几个区域上的积分之和 就是所给二重积分的值。 ∫(xy=(x,y+』(x,yo D=D,+D
若D不是X型（或Y型），则将D分为几个区域， 使它们为X型（或Y型），几个区域上的积分之和 就是所给二重积分的值。 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , , , D D D f x y d f x y d f x y d D D D = + = + D1 D2