§1.5条件概率 全概率公式：设E的样本空间为S,A为E的事件，B1,B2,B。 为S的一个划分，且P(B)>0(i=1,2,n),则 ·P4④=PAB1)P(B1)++PABn)P(Bn)=∑P(AB,)P(B) 证：PA)=PAS)=P(A(B1UB2U.UB) 。由分配率 =P(AB UAB2 U.UAB) oi 而对任意的，i,j=1,2,n,有(ABAB,FABB=Φ 。由有限可加性=PAB1)+PAB2)H.+PAB) 。又P(B)>0,由乘法定理上式展开得 ● =P(A B)P(B)+P(A B2)P(B2)+.+P(A B)P(B) S ·在全概率公式中要注意一下几点： B 。1)条件P(B)>0,划分不能是空集 ·2)B1,B2,.,B正好覆盖S中的所有元素 。3)在应用上，那些不便直接求某一事件的概 B 率时，先找到一个合适的划分，再用全概率公式计算 7/21
§1.5 条件概率 全概率公式：设E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，.，Bn 为S的一个划分，且P(Bi )>0（i＝1，2，.，n），则 P(A)＝P(A|B1 )P(B1 )+.+ P(A|Bn )P(Bn )= 证：P(A)＝P(AS)= P(A(B1∪B2∪.∪Bn )) 由分配率 ＝P(AB1∪AB2∪.∪ABn ) 而对任意的i≠j，i，j＝1，2，.，n，有(ABi )(ABj )= ABiBj=Φ 由有限可加性 ＝P(AB1 )+P(AB2 )+ .+ P(ABn ) 又P(Bi )>0，由乘法定理上式展开得 ＝P(A|B1 ) P(B1 )+P(A|B2 ) P(B2 )+ .+ P(A|Bn ) P(Bn ) 在全概率公式中要注意一下几点： 1）条件P(Bi )>0，划分不能是空集 2） B1，B2，.，Bn正好覆盖S中的所有元素 3）在应用上，那些不便直接求某一事件的概 率时，先找到一个合适的划分，再用全概率公式计算 ( | ) ( ) i 1 P A Bi P B n i B2 S A B1 Bn 7/21
§1.5条件概率 p2.贝叶斯(Bayes)公式（计算后验概率问题） ● 事件A的发生，if构成S划分的事件B1,B2,B中的一个发生时才发 生，一般在实验之前仅知道B的先验概率，那么如果试验后事件A已经发 生了，B发生的概率又是多少呢？这种问题我们称他为后验概率问题，有 利于我们查找事件发生的原因。解决此类问题可采用贝叶斯(Bayes)公式 贝叶斯(Bayes)公式 ● 设E的样本空间为S,A为E的事件，B1,B2,B为S的一个划分，且 P4)>0,P(B,)>0(i=1,2,n),则 P(BA)= PAB)PB),=1,2,n >P(A B)P(B) i=l 证：由条件概率公式P(B4)=P(BA)/P(A),再用乘法定理和全概率公 式对分子分母展开即得所求。 P(B)是以往的数据分析得到的，称为先验概率 ⊙P(B4)是得到信息之后再重新加以修正的概率，叫做后验概率 8/21
§1.5 条件概率 2．贝叶斯(Bayes)公式 (计算后验概率问题) 事件A的发生，iff构成S划分的事件B1，B2，.，Bn中的一个发生时才发 生，一般在实验之前仅知道Bi的先验概率，那么如果试验后事件A已经发 生了，Bi发生的概率又是多少呢？这种问题我们称他为后验概率问题，有 利于我们查找事件发生的原因。解决此类问题可采用贝叶斯(Bayes)公式 贝叶斯(Bayes)公式 设E的样本空间为S，A为E的事件， B1，B2，.，Bn为S的一个划分，且 P(A)>0，P(Bi )>0（i＝1，2，.，n），则 P(Bi |A)= ，i＝1，2，.，n 证：由条件概率公式P(Bi |A)＝P(BiA)/P(A)，再用乘法定理和全概率公 式对分子分母展开即得所求。 P(Bi )是以往的数据分析得到的，称为先验概率 P(Bi |A)是得到信息之后再重新加以修正的概率，叫做后验概率 n i i i i i P A B P B P A B P B 1 ( | ) ( ) ( | ) ( ) 8/21