4)VαV,βeV,stα+β=O（β称为α的负元素).数量乘法满足下面两条规则：5)lα=α;6) k(lα)=(kl)α ;数量乘法与加法满足下面两条规则7)(k+1)α=kα+lα;8) k(α+β)=kα+kβ;在以上规则中，k,1等表示数域P中任意数；α,β,等表示集合V中任意元素.例3数域P上一元多项式环P[x]，按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P上的线性空间.如果只考虑其中次数小于n的多项式，再添上零多项式也构成数域P上的一个线性空间，用P[x]，表示.例4元素属于数域P的mxn矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，用Pmx表示例5全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间例6数域P按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间。例7以下集合对于所指定的运算是否作成实数域R上的线性空间：1）平面上全体向量所作成的集合V，对于通常向量的加法和如下定义的纯量乘法：aα=0,aeR,αeV.2）R上n次多项式的全体所作成的集合W对于多项式的加法和数与多项式的乘法例8设V是正实数集，R为实数域.规定α④β=αβ(即α与β的积)
4) V, V,st + = 0 ( 称为 的负元素). 数量乘法满足下面两条规则： 5) 1 = ; 6) k(l) = (kl) ; 数量乘法与加法满足下面两条规则： 7) (k + l) = k + l ; 8) k( + ）= k + k; 在以上规则中， k,l 等表示数域 P 中任意数； , , 等表示集合 V 中任意元 素. 例 3 数域 P 上一元多项式环 P[x] ,按通常的多项式加法和数与多项式 的乘法，构成一个数域 P 上的线性空间.如果只考虑其中次数小于 n 的多项 式，再添上零多项式也构成数域 P 上的一个线性空间，用 n P[x] 表示. 例 4 元素属于数域 P 的 mn 矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘 法，构成数域 P 上的一个线性空间，用 m n P 表示. 例 5 全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数 域上的线性空间. 例 6 数域 P 按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间. 例 7 以下集合对于所指定的运算是否作成实数域 R 上的线性空间: 1) 平面上全体向量所作成的集合 V ,对于通常向量的加法和如下定义 的纯量乘法: a = 0,a R, V . 2) R 上 n 次多项式的全体所作成的集合 W 对于多项式的加法和数与 多项式的乘法. 例 8 设 V 是正实数集, R 为实数域.规定 = (即 与 的积)
aα=α"（即α的a次幂)，其中α,βeV,aeR.则V对于加法和数乘O作成R上的线性空间二线性空间的简单性质线性空间的元素也称为向量，当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小写希腊字母α,β,y,..代表线性空间V中的元素，用小写拉丁字母a,b,c,.代表数域P中的数.1.零元素是唯一的.2.负元素是唯一的.3. 0α =0;k0=0;(-1)α =-α4.如果kα=0,那么k=0或者α=0
a ⊙ = a (即 的 a 次幂), 其中 , V,a R .则 V 对于加法⊕和数乘⊙作成 R 上的线性空间. 二 线性空间的简单性质 线性空间的元素也称为向量.当然这里的向量比几何中所谓向量的涵 义要广泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小写希腊字母 , , , 代表线性空间 V 中的元素，用小写拉丁字母 a,b, c, 代表数域 P 中的数. 1.零元素是唯一的. 2.负元素是唯一的. 3. 0 = 0;k0 = 0;(−1) = −. 4.如果 k = 0 ,那么 k = 0 或者 = 0
83维数·基与坐标教学目的熟练掌握基、维数、坐标的概念和求法重点难点基的概念和求法教学过程一、向量的线性相关与线性无关定义2设V是数域P上的一个线性空间，αj,αz",α,(r≥1)是组向量，k,kz",k,是数域P中的数，那么向量a=ka +k,α,++ka,称为向量组αα2,α,的一个线性组合，有时也说向量α可以用向量组a,αz,,α,线性表出.定义3设(1)a1,2,",α,(2)βr,β2...β,是V中两个向量组，如果（1）中每个向量都可以用向量组（2）线性表出，那么称向量（1）可以用向量组（2）线性表出.如果（1）与（2）可以互相线性表出，那么向量组（1）与（2）称为等价的定义4线性空间V中向量α,α2,",α,(r≥1)称为线性相关，如果在数域P中有r个不全为零的数k,k2,,,，使(3)kα+k2.αz+...+k,a,=0如果向量α1α2",α,不线性相关，就称为线性无关.换句话说，向量组αiα2,α,称为线性无关，如果等式（3）只有在k=kz=k,=0时才成立,几个常用的结论：1.单个向量α线性相关的充要条件是α=0.两个以上的向量
§3 维数·基与坐标 教学目的 熟练掌握基、维数、坐标的概念和求法. 重点难点 基的概念和求法. 教学过程 一、向量的线性相关与线性无关 定义 2 设 V 是数域 P 上的一个线性空间， r ,. , , 1 2 (r 1) 是 一 组向量, r k ,k , ,k 1 2 是数域 P 中的数，那么向量 r r = k11 + k2 .2 ++ k 称为向量组 r ,. , , 1 2 的一个线性组合，有时也说向量 可以用向量组 r ,. , , 1 2 线性表出. 定义 3 设 r ,. , , 1 2 (1) s , , . 1 2 (2) 是 中两个向量组，如果（1）中每个向量都可以用向量组（2）线性表出， 那么称向量（1）可以用向量组（2）线性表出.如果（1）与（2）可以互相 线性表出，那么向量组（1）与（2）称为等价的. 定义 4 线性空间 中向量 r ,. , , 1 2 (r 1) 称为线性相关，如果在数 域 P 中有 r 个不全为零的数 r k ,k , ,k 1 2 ，使 k11 + k2 .2 ++ krr = 0 (3) 如果向量 r ,. , , 1 2 不线性相关，就称为线性无关.换句话说，向量组 r ,. , , 1 2 称为线性无关，如果等式（3）只有在 k1 = k2 =kr = 0 时才成 立. 几个常用的结论： 1. 单个向量 线性相关的充要 条件 是 = 0 . 两个 以 上 的 向 量 V V V
αjα2,",α,线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合.2．如果向量组αα2…α,线性无关，而且可以被β,β2,.β,线性表出，那么r≤s.由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必含有相同个数的向量3.如果向量组αi,αz",α,线性无关，但αiα2,",αr，β线性相关，那么β可以由被αα2,,α,线性表出，而且表示法是唯一的在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一个重要属性定义5如果在线性空间V中有n个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V就称为n维的；如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的定义6在n维线性空间V中，n个线性无关的向量sj,82",,称为V的一组基.设α是V中任一向量，于是,2，",n,α线性相关，因此α可以被基81,82,8,线性表出：α=ae,+ae2+..+a,en.其中系数a,a2a是被向量α和基,2,唯一确定的，这组数就称为α在基,2",8下的坐标，记为a,a2",a）由以上定义看来，在给出空间V的一组基之前，必须先确定V的维数定理1如果在线性空间V中有n个线性无关的向量α,α2，"",α,，且V中任一向量都可以用它们线性表出，那么V是n维的，而αα2"α，就是V的一组基.例1在线性空间P[x],中，1, x, x2,.,x"-
r ,. , , 1 2 线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组 合. 2. 如果向量组 r ,. , , 1 2 线性无关，而且可以被 s , , . 1 2 线性表 出，那么 r s . 由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必含有相同个数的向量. 3. 如果向量组 r ,. , , 1 2 线性无关，但 1 ,.2 , , r , 线性相关，那 么 可以由被 r ,. , , 1 2 线性表出，而且表示法是唯一的. 在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空 间的一个重要属性. 定义 5 如果在线性空间 中有 n 个线性无关的向量，但是没有更多数目的 线性无关的向量，那么 就称为 n 维的；如果在 中可以找到任意多个线性 无关的向量，那么 就称为无限维的. 定义 6 在 n 维线性空间 V 中， n 个线性无关的向量 n , , , 1 2 称为 V 的一组基.设 是 V 中任一向量，于是 1 , 2 , , n , 线性相关，因此 可以 被基 n , , , 1 2 线性表出： a a an n = + ++ 1 1 2 2 . 其中系数 a a an , , , 1 2 是被向量 和基 n , , , 1 2 唯一确定的，这组数就称 为 在基 n , , , 1 2 下的坐标，记为 ( , , , ) a1 a2 an . 由以上定义看来，在给出空间 V 的一组基之前，必须先确定 V 的维数. 定理 1 如果在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量 n ,. , , 1 2 ，且 V 中任一向量都可以用它们线性表出，那么 V 是 n 维的，而 n ,. , , 1 2 就是 V 的一组基. 例 1 在线性空间 n P[x] 中， 2 1 1, , , , n− x x x V V V V
是n个线性无关的向量，而且每一个次数小于n的数域P上的多项式都可以被它们线性表出，所以P[x],是n维的，而1,x,x2,…,x"-1就是它的一组基例2在n维的空间P"中，显然6} = (1,0, ,0),62 = (0,1, .,0),6,=(0,0,.".,1)是一组基.对于每一个向量α=(ai,a2,a,）,都有α=ao,+ae,+...+a,en所以（af,az,",a,）就是向量α在这组基下的坐标例3如果把复数域K看作是自身上的线性空间，那么它是一维的，数1就是一组作是实数域上的线性空间，那么就是二维的，数1与i就是一组基.这个例子告诉我们，维数是和所考虑的数域有关的
是 n 个线性无关的向量，而且每一个次数小于 n 的数域 P 上的多项式都可以 被它们线性表出，所以 n P[x] 是 n 维的，而 2 1 1, , , , n− x x x 就是它的一组基. 例 2 在 n 维的空间 n P 中，显然 = = = (0,0, ,1) (0,1, ,0), (1,0, ,0), 2 1 n 是一组基.对于每一个向量 ( , , , ) = a1 a2 an ,都有 a a an n = + ++ 1 1 2 2 . 所以 ( , , , ) a1 a2 an 就是向量 在这组基下的坐标. 例 3 如果把复数域 K 看作是自身上的线性空间，那么它是一维的，数 1 就是一组作是实数域上的线性空间，那么就是二维的，数 1 与 i 就是一组 基.这个例子告诉我们，维数是和所考虑的数域有关的