对任意整数r，有r）一h(r）=p(r）十h(r）故h(r）=0，从而h(x)三0矛盾，因而不可约。问题19证明-个非零复数α是某一有理系数非零多项式的根，必要而且只要存在一个有理系数多项式f（x），使1=f(α).C证明：（一）显然成立。（=>）设α为非零有理系数g（α）的根，设g(x）=bma+..+6.x+b..6.+0..b.αa"+.*+b,a+b.=0.若b。=0，则αbmα"-1++6,)=0.：α±0，故b.αm-1+…+b，=0，我们总有一个时刻，使b.a-i++b.-0.而b，丰0，因而我们可以在等式b.a"+...+b.α+b.=0中设6。+0，6mα"++6,α=-b。，从而有6bra-++.+bi =1, bi-bof(x=bmx"-1+…+b，为有理系数多项式，得到令.1f(a)=1结论成立。问题20设整系数多项式f（）α,x+α-1"-1+…+a,x十ae，如果存在质数p，使pxan,plar-t,-.,plaospfao,则f（x）在整数环上有次数≥h的不可约因子27
证明：设f(x）=f(x)..f.(x)，f(x)在Q上不可约的整系数多项式。我们对m用归纳法。1°m=1时，结论当然正确。2°设m1时正确（m≥2），证明m时也正确，事实上，令fi(x)=c.+.+c,x+co,p(x)=f.(x)..f.(x)=d,x+.+d,x+d..若r≥k这时结论成立，设r≤k-1，！a。=c。d。，由plao，p+ao，co，d。之中有且仅有个被p整除，不妨设plco，则因a,=cod,+c,do，由pla,，得到plct.：h-1≥r,a,=c.d,+c,d,++cd，由pla从而plcd。,：plc，：pla=cd矛盾，因而pco，有pido，由plax-,,ao,得到pldt-i,",do,当然l≥k，pdt,"d。，即(x)满足f()的条件，由归纳假设(）可分解出次数≥的整系数的不可约多项式，即结论成立。问题21设数域P上多项式f。(x)= 1,fi(x)-x+axi-1+..+ai.i-1x+ai=1,2,.,n-1.问下面的向量组：a=(f。(c,),f。(c2),.,fo(c,))a2=(f,(c),f,(c2),",f,(c)),：a,-(f.-,(c,),f.-1(c2),.",f.--(c,)),在P中是否线性相关？为什么？（其中c，，c为P中n个互不相同的数）。28
证明：由条件得到X...xf(x)=(ait,ai. -,, 1, 0, ., 0)++1../1C;....G..... fi(c)=(au,ai.-1,,1, 0, *, 0)C1.0..(fi(c,),.",fi(ch))=(ai,ai.-1,...0)A,这里1CiA-CA若有α+.+h++ka=0，则得到(h,(1,0,..0)+...+h(aiai..-,,l,0,...,0)+..+h,(α,-1."-1 a.-1..-2, ", 1))A= 0.：1A0，故有h(1,0,,,0)+...29
+hi(aii, a..- ., 1, 0, .., 0)+h.(a.-1.--1, am-1.--29 , 1)= 0,从而k,-0，i-1,2，，n。ai，a2,，α在P中线性无关。问题22设f)为整系数多项式，a1，2，α3，α4为互不相同的整数f(a,）=f(a,）=f(a,）=f(a）=1试证：对任意整数n，fn)一1不为素数证明：设f(x)-1-p(x)，p(a,)=...-(α)=0又因为a，*"，a互不相同，故p(x)=(x-a)(x,)(x-a)(x-ag(x):. q(n)=(n-a,)(n-a)(n-a,)(n-a)g(n)=f(n)-1,nai，n-a2，，n-a彼此不同，其中最多有两个为1，-1，因而其他牛1，-1.故f(n)1不为素数，问题23设f为复数域上的多项式，f(x)为f(x)的一阶导数，令D。=(f，f")，D,=(D。，D。)，D,=(D,D,),",Dm1=(Dm-3，D-.)≠0，Dm-,=0其中（，)表示相应的首一最大公因式，又令D.De-2-.f-f2=.f-fr=2913DD.tf2fa-1一，且g.=f..gaOfmf.试证：（1）f=gig2gg；（2）g1，g2，，9m均无重根，（3）9，92，，gm两两互素.（1）由条件知：9192*9=f1，证明：30
g..g,=f.,:gm-19m=fm-1,g.=f..f-f (: D.-1=1)...ggi.g"-f,f..f.-D.-1me(2) D。=(f, f"), f-无重根，又D.f当然g无重根，同样可证明其他。2gi:f..（3）：f-g.g2gm无重根，（gi，g）=1(itj).问题24令f(xax+a,α"-1++a-×+aF(x,y)=aox"+a,x-y++a.-xy*+a,y".证明：f(x)无重根<>F（，1)，F（x，1）互素。这, F;(x,1)=_0F(x,y)oF(x,y)果F(x1)dydx（）设f（α）无重根。证明：F(x,1)=naox-1+(n-1)a,α"-2+.+an-1=f'(x),F,(x,1)=a,x"-1+2a2x"-2+..nn+(n-1)a-1x+nan03xf(x)=xF(x,1)2=na.x"+(n-1)a,x*-1+..+a,-1x=na+(n-1)a,x-131