对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵事实上，设o为n维欧氏空间V上的对称变换81,2,"",8,为V的一组标准正交基，A=(a,)e Rn为在这组基下的矩阵，即0(81,62,".*,6,) = (81,62,"**,8n)A或o(8,)=aiei +a2ie2 +...+anenZatk,i=1,2,..",nk=1S9.6对称矩阵的标准形区区
§9.6 对称矩阵的标准形 ② 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵． ( ) n n A a R ij 1 2 , , , n 为V的一组标准正交基， = 事实上，设 为n维欧氏空间V上的对称变换， 为 在这组基下的矩阵，即 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n = A 或 1 1 2 2 ( )i i i ni n = + + + a a a 1 , 1,2, , n ki k k a i n = = =
(o(6,),6)=(2aner,6, =Zan(6x,6)于是=a,(6,6,)=aji(s,0(e)-[ 8),2aget ) -Zag(8),8)=a,(6j,6,) = aj由α是对称变换，有(o(s;),,)=(s,o(s,)即i, j =1,2,.....n,αij = αji,所以A为对称矩阵：89.6对称矩阵的标准形区区
§9.6 对称矩阵的标准形 于是 ( ) 1 ( ), , n i j ki k j k a = = 1 ( , ) n ki k j k a = = ( , ) ji j j = a ji = a ( ) 1 , ( ) , n i j i kj k k a = = 1 ( , ) n kj i k k a = = ( , ) ij i i = a ij = a , , 1,2, , ij ji 即 = = i j n 所以A为对称矩阵． 由 是对称变换，有 ( ( ), , ( ) i j i j ) = ( )