西安毛子科技大学数学与统计学院Schoolofmathematies andstatisticsXIDIAN UNIVERSITY畜等数学第四节无穷小与无穷大
第四节 无穷小与无穷大
西要毛子科技大学无穷大与无穷小XIDIAN UNIVERSITY一、无穷小定义1若lim f(x)=0(limf(x)=0)，则称函数f(x)为 x→x(x→8)时的无穷小例如 lim(x-1)=0，函数x-1为当 x→1时的无穷小;t-lim==0，函数=为当x→αo时的无穷小。X>00Xx
无穷大与无穷小 一、无穷小 定义1 则称函数 为 时的无穷小. 例如 函数 为当 时的无穷小； (lim ( ) 0 ， x f x → = ) 函数 为当 时的无穷小． 1 lim 0 x→ x = ， ( ) x →
西安毛子科技大学无穷大与无穷小XIDIAN UNIVERSITY注极限为零的变量称为无穷小1．无穷小是变量，不能与很小的数混淆；2．零是唯一可以作为无穷小的常数；3．函数是否为无穷小，与自变量的变化趋势有关例如 lim(x-1)=0，函数x-1为当 x→1时的无穷小;lim e=0，函数e为当x→-o 时的无穷小。x→-
无穷大与无穷小 注 1. 无穷小是变量，不能与很小的数混淆； 2. 零是唯一可以作为无穷小的常数； 3. 函数是否为无穷小，与自变量的变化趋势有关. 极限为零的变量称为无穷小 例如 函数 为当 时的无穷小； lim e 0 x x→ − = ， 函数 为当 时的无穷小．
西安毛子科技大学无穷大与无穷小XIDIANUNIVERSITY定理1 lim f(x)= A f(x)= A+α(x)，其中α(x)是当x→x时的无穷小。证limf(x)=A>0, 8>0,当0<|x-x。<时,1f(α)-A<8.令α(x)= f(x)-A, f(x)=A+α(x) 且limα(x)=0.x→X0
无穷大与无穷小 定理1 0 lim ( ) ( ) ( )， x x f x A f x A x → = = + 当 → x x0 时的无穷小． 其中 ( ) x 是 证 令 = − ( ) ( ) x f x A， 0 lim ( ) 0， x x f x A → = 0， 0 ( ) ( ) lim ( ) 0 x x f x A x x → = + = 且 ．
西安毛子科技大学无穷大与无穷小XIDIAN UNIVERSITY二、无穷大定义2 设函数f(x)在点 xo的某一去心邻域内有定义，若M>0,38>0,当0<|x-xl<时,有I(x)}>M，则称f(x)为当 x→x时的无穷大.记作 lim f(x)=o0lim f(x)=00 VM>0, 3X>0,X-00M-X定义当Ix|>X时,有/f(x)|>M.注函数极限为无穷大，它的极限不存在
无穷大与无穷小 二、无穷大 定义2 设函数 在点 的某一去心邻域内有定义， 若 M 0， 为 0， f x( ) 当 时的无穷大． 0 lim ( ) x x f x → 记作 = 则称 注 函数极限为无穷大，它的极限不存在. M 0， 0， 0 lim ( ) x x f x → = M − 定义 X 0， | | x X X