例3向量空间V中 T:a)a,Va∈T :a>0,Va∈ 显然τ、a都是线性变换.分别称为恒等变换和 零变换,恒等变换记为Ⅰ,零变换记为0,即 (a)=a,0(a)=0 第六章
第六章 工 程 数 学 例3 向量空间 V 中: ：→ ，V ：→ 0，V 显然 、 都是线性变换. 分别称为恒等变换和 零变换，恒等变换记为I ，零变换记为0，即 I ()= , 0()=0
例4.R2中σ(x,y)=(xy,0),是否是线性变换? 解:σ(x,y)+(x1,y1 o(x+x. y+y =((x+x1)(y+y1)20) (xy,0)+(x11O)+(x1y,0)+(xy1,0) o(x, y+ox1, y1+(v,0)+(xy, 0) ≠a(x,y)+o(x12y) σ(x,y)=(xy,0)不是线性变换 第六章
第六章 工 程 数 学 例4. R2中 ( x, y) = (x y, 0), 是否是线性变换? 解： (( x, y)+(x1 , y1 )) =( ( x+x1 )( y+y1 ), 0) = ( xy, 0 )+( x1y1 , 0 ) + (x1y, 0)+(xy1 , 0 ) = ( x+x1 , y+y1 ) = ( x, y)+ ( x1 , y1 ) + (x1y, 0)+(xy1 , 0 ) ( x, y)+ ( x1 , y1 ) ( x, y) = (x y, 0)不是线性变换
例5.下列变换: (a1,a2,…,an)>(a120,0,…,0) 02(a1,a2,…,an))(a1,a2a3 n-1 an)→>k(a12a2,a3y2…,an) a(a,2,…,a)→②∑h∑b21af…∑bna) 其中(a12a2,…,an)是任一n维向量,b为取定 实数i,产1,…,n,则σ1,a2,3,O4都是Rn的线 性变换 第六章
第六章 工 程 数 学 例5. 下列变换： 1 :(a1 , a2 , …, an ) →(a1 , 0, 0, …, 0); 2 :(a1 , a2 , …, an ) →(a1 , a2 , a3 , …, an−1 , 0); 3 :(a1 , a2 , …, an ) → k(a1 , a2 , a3 , …, an ); 4 :(a1 , a2 , …, an ) → ( , , , ) 1 1 2 1 1 = = = n j nj j n j j j j n j b j a b a b a 其中(a1 , a2 , …, an )是任一 n 维向量，bij为取定 实数 i, j=1, …, n, 则1 , 2 , 3 , 4 都是 Rn 的线 性变换
线性变换的性质 (1)o(0)=0,a(-a)=-o(a) (2)(k1a1+k2a2+…+k3as) =k1o(1)+k2o(a2)+…+ksO(s) (3)若a1,a2…,∝x线性相关,则σ(ax1), (a2)…,a(a线性相关 第六章
第六章 工 程 数 学 二、线性变换的性质 (1) ( 0 ) = 0, ( − )= − ( ) (2) ( ) 1 1 2 2 s s k + k ++ k ( ) ( ) ( ); 1 1 2 2 s s = k + k ++ k (3) 若1 , 2 , …, s 线性相关，则 (1 ), ( 2 ), …, ( s )也线性相关
82线性变换和矩阵 R2中变换a(x,y)=(2x+y,x-3y)是一个线性变换 σ(e1)=a(1,0)=(2,1)=2e1+e2=(e12e2X(2,1) o(e2)=(0,1)=(12-3)=e1-3e2=(e12e2)(,-3) (σ(e1)o(e2))=(e12e 第六章
第六章 工 程 数 学 §2 线性变换和矩阵 R2 中变换 (x, y)=(2x+y, x−3y) 是一个线性变换. T (e ) (1, 0) (2,1) 2e e (e , e )(2, 1) 1 = = = 1 + 2 = 1 2 T (e ) (0, 1) (1, 3) e 3e (e , e )(1, 3) 2 = = − = 1 − 2 = 1 2 − − = 1 3 2 1 ( ( ), ( )) ( , ) 1 2 1 2 e e e e