可C手一质点的质量为m,被固定中心排斥,斥力的大小 F=Hm,其中r为质点离开此中心的距离.在开始时,=a,=0,求 质点经过位移a时所达到的速度大小 鼐解 斥力为线性变化力! F 示功图 zuma 对示功图求梯形阴影“面积ma 2 um(a+2a) .a=suma ol 对质点经过位移m的过程,由动能定理 3 pma =mv 2 a√3
一质点的质量为m，被固定中心排斥，斥力的大小 F=μmr，其中r为质点离开此中心的距离．在开始时，r0=a，v=0，求 质点经过位移a时所达到的速度大小． 斥力为线性变化力！ ma 示功图 r F 0 a a 2ma WF 对示功图求梯形阴影“面积” ( ) 3 2 2 1 2 2 W m a a = + a = ma 对质点经过位移a的过程，由动能定理 3 1 2 2 2 2 ma mv = v = a 3
C广手跳水运动员从高于水面H=10m的跳台自由落下,运动员的质 量m=60kg,其体形可等效为长度/=1.0m、直径d=0.30m的圆柱体,略去空气 阻力,运动员入水后水的等效阻力F作用于圆柱体下端面,F量值随入水深度y变化 如图,该曲线近似为椭圆的一部分,长轴和短轴分别与OF和OF重合,为了确保运 动员绝对安全,试计算水池中水的至少应等于多少? 其中阻力功根据示功图为四分之一个精可 对全过程运用动能定理 示功图 mg(H+h)-浮-W阻=0-05 “面积” omg W 阻 阻 元 入水过程中,浮力随入水深度作线性变化浮分d2h 2 浮=Pg th-l 示功图 4(2 Poldi 浮 15丌 4 m(10+b)-p h m=0 2)8 160+3兀 I pgla h= m≈49 24 16(z-1)
跳水运动员从高于水面H＝10 m的跳台自由落下，运动员的质 量m＝60 kg，其体形可等效为长度l＝1.0 m、直径d＝0.30 m的圆柱体，略去空气 阻力，运动员入水后水的等效阻力F作用于圆柱体下端面，F量值随入水深度y变化 如图，该曲线近似为椭圆的一部分，长轴和短轴分别与OY和OF重合，为了确保运 动员绝对安全，试计算水池中水的h至少应等于多少？ 5mg/2 Y F 0 h 对全过程运用动能定理: mg H h W W ( + − − = − ) 浮 阻 0 0 其中阻力功根据示功图为四分之一个椭圆 “面积”: 示功图 1 5 W阻 4 2 mg W h 阻 = 入水过程中，浮力随入水深度y作线性变化 2 4 d F g y 浮 = 示功图 Y F浮 0 l 2 4 g ld 2 1 2 4 gl d W l = 浮 2 4 2 d l W gl h l = + − 浮 ( ) 2 1 5 10 0 4 2 8 d m h l h mh + − − − = ( ) 160 3 m 16 1 h + = − 4.9 m
命法B用微元法 如果在某一位移区间,力随位移变化的关系 为F一(s),求该变力的功通常用微元法,即将位 移区间分成n(n∞)个小区间s/m,在每个小 区间内将力视为恒定,求其元功FSmn,由于功 是标量,具有“可加性”,那么总功等于每个 小区间内元功之代数和的极限,即变力在这段 位移中所做的功为 i=im∑W n→>0 在数学上,确定元功相当于给出数列通项 式,求总功即求数列m项和当n>∞时的极限
如果在某一位移区间，力随位移变化的关系 为F=f(s) ，求该变力的功通常用微元法，即将位 移区间分成n（n→∞）个小区间s/n，在每个小 区间内将力视为恒定，求其元功Fi· s/n ，由于功 是标量，具有“可加性”，那么总功等于每个 小区间内元功之代数和的极限，即变力在这段 位移中所做的功为： ♠ 方法 B 1 lim n i n i W W → = = 在数学上，确定元功相当于给出数列通项 式，求总功即求数列n项和当n→∞时的极限．
专题8-例3半径等于的半球形水池,其中充满了水,把池内 的水完全吸尽,至少要做多少功? 解: 。沿着容器的竖直直径,我们将水池内的水均匀细分成n 层,每一元层水的高度△h=2 每一层水均可看作一个萍圆柱,水面下第层 水柱底面的半径 这层水的质量m1=Pnr 将这层水吸出至少应做的元功是 rn2 将池水吸尽至少要做的功是 W;=pn g W=lim∑W=pgzr 4 n pgnr lim|2(1+2+3+…+m) +2+3+…+n n→0 m(n_1.2(nn)271 n =Pg丌rIim x2244 Pg兀F
半径等于r的半球形水池，其中充满了水，把池内 的水完全吸尽，至少要做多少功？ 专题8-例3 r ri 沿着容器的竖直直径，我们将水池内的水均匀细分成n 层，每一元层水的高度 r h n = r 1 i 2 每一层水均可看作一个薄圆柱，水面下第i层 水柱底面的半径 这层水的质量 2 2 i r r r i n = − 2 2 i r r m r i n n = − 将这层水吸出至少应做的元功是 2 2 i r r r W r i g i n n n = − 将池水吸尽至少要做的功是 3 4 2 4 1 lim n i n i i i W W g r n n → = = = − ( ) ( ) 4 3 3 3 3 2 4 1 1 lim 1 2 3 1 2 3 n g r n n n n → = + + + + − + + + + ( ) ( ) 2 2 4 2 4 1 1 1 1 lim n 2 4 n n n n g r n n → + + = − 1 4 g 4 = r
专题8-例4一个质量为m的机动小车,以恒定速度在半径为 R的竖直圆轨道绕“死图”运动.已知动摩擦因数为H,问在小车从 最低点运动到最高点过程中,摩擦力做了多少功? 小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最 高点的过程中,由于轨道支持力是变力, 故而摩擦力为一随位置变化的力! No.B 当小车运动在A处元圆弧段时p2 NA-mg sin 0A=m 2 R SA=UNA=um +gsin 6A R 摩擦力在A处元功为 2 丌R 元 WA=um gsin 0A +I 62=i R 当小车运动在与A关于x轴对称的B处元圆弧段时 p Nr+mosin B =m R 续解
一个质量为m的机动小车，以恒定速度v在半径为 R的竖直圆轨道绕“死圈”运动．已知动摩擦因数为μ，问在小车从 最低点运动到最高点过程中，摩擦力做了多少功？ 专题8-例4 小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最 高点的过程中，由于轨道支持力是变力， 故而摩擦力为一随位置变化的力！ x y O A B 当小车运动在A处元圆弧段时 n mg NA A 2 A A sin v N mg m R − = A A f N = 2 sin A v m g R + = 摩擦力在A处元功为 2 A A sin v R W m g R n = + 当小车运动在与A关于x轴对称的B处元圆弧段时 B A mg NB B 2 B B sin v N mg m R + = n 续解 i i n =