二、连续型随机变量的数学期望 定义2设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 则称 E(X)=∫f(x)dr(要求此积分绝对收敛) (2) 为X的数学期望（或均值）， 例6设X在[a,b]上服从均匀分布，求E(X) 解X的概率密度为 f(x)= a≤x≤b, b-a 0, 其它 -地-= 2 例7设X服从参数为 的指数分布，求E (X)·
二、连续型随机变量的数学期望 例6 设 X 在 [ a,b ]上服从均匀分布，求E ( X )． 解 X 的概率密度为 . = − 0, . , , 1 ( ) 其它 a x b f x b a 2 d 1 ( ) ( )d a b x b a E X xf x x x b a + = − = = + − 例7 设 X 服从参数为 的指数分布，求E ( X ) ． 定义2 设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) , 则称 （要求此积分绝对收敛) 为X 的数学期望(或均值)． + − E(X ) = xf (x)dx (2)
解X的概率密度为 f(x)= ex,x≥0， 0, 其它 (0-ew-,e=月 例8设X~N(4,o2),E(X) 求 解f(x)= 1-x2 ,-00<X<+00 √2πo -。 t =
解 X 的概率密度为 = − 0, . e , 0, ( ) 其它 x f x x + − + − = = = 0 1 ( ) ( )d e d E X xf x x x x x 例8 设 ， 求 ． ~ ( , ) 2 X N E(X ) = − + − − f x x x e , 2 1 ( ) 2 2 2 ( ) . e d 2 1 e d 2 ( )e d 2 1 e d 2 ( ) ( )d 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 = = + + = = + − + − − − + − − + − − + − − t x x t x x x E X x f x x t t t x 解 t x = − 令
三、随机变量的函数的数学期 定1设随机变量Y是随机变量X的函数：Y=g(X); (1)若X为离散型，且分布律为p=PX=x},k=1,2,… 则 E(Y)=Eg(X]=∑g(x)Pk. (3) k= (2)若X为连续型，其密度为f(x),则 E(Y)=E[g(X)]=[g(x)f(x)dx (4) 例9设X的分布律为 X -2 -1 0 1/2 P 1/6 1/3 1/41/12 1/6 求E(X2)、E(aX+b)·
三、随机变量的函数的数学期 望 例9 设X的分布律为 X －2 －1 0 1 / 2 1 P 1 / 6 1 / 3 1 / 4 1 / 12 1 / 6 ( ) E(aX + b) 2 求 E X 、 ． 定理1 设随机变量Y 是随机变量 X 的函数:Y=g(X ); （1）若X为离散型, 且分布律为 则 . pk = P{X = xk }, k =1, 2, E(Y) = E[g(X)] = = 1 ( ) k k pk g x （2）若X为连续型，其密度为f( x )，则 ． + − E(Y) = E[g(X )] = g(x) f (x)dx (3) (4)
616 、 240+6. 例10设X~N(0,),求E(X2). x2 解 例11设X在区间(0，a)上服从均匀分布，求Y=kX2的数学期望， 解X的密度为f(x)= 0<x<a, a 则 其它 EY)=Ekr)=∫kxfx)=∫。kx2d=kd. 0 3
16 19 6 1 1 12 1 2 1 4 1 0 3 1 ( 1) 6 1 ( ) ( 2) 2 2 2 2 2 2 + = E X = − + − + + . 24 11 6 1 ( ) 12 1 2 1 4 1 3 1 ( ) 6 1 ( ) ( 2 ) a b E a X b a b a b b a b a b = − + + + + = − + + − + + + + 解 . 例10 设 X ~ N(0,1) ，求 E(X 2 ) ． e d 1 2 1 ( ) (x)d 2 2 2 2 = = = + − + − − E X x x x x x 解 . 例11 设 X 在区间(0,a)上服从均匀分布，求 Y = kX 2 的数学期望． 解 X 的密度为 则 = 0, . , 0 , 1 ( ) 其它 x a f x a 2 0 2 2 2 3 1 d 1 ( ) ( ) ( )d x k a a E Y E k X k x f x x k x a = = = = + −
例12 设X的概率密度为 π π f(x)=2 COSX, <X< 2 2'Y=sin X,Z=cosX, 0, 其它， 求E(Y)、E(Z) 解 E(Y)=E(sin X)=sin xf(x)dx E(Z)=E(cosX)=[cosxf(x)dx -∫2cosxcosd 2 号1+c0s2xd
例12 设 X 的概率密度为 ， 求 、 ． − = 0, , , 2 2 cos , 2 1 ( ) 其它 x x f x Y = sin X, Z = cos X E(Y) E(Z) 解 + − E(Y) = E(sin X ) = sin xf (x)dx cos d 0 . 2 1 sin 2 2 = = − x x x . 4 d 2 1 cos2 cos d 2 1 cos ( ) (cos ) cos ( )d 2 0 2 2 = + = = = = − + − x x x x x E Z E X x f x x