教学过程附注中信的数量，求（1）X与Y的联合分布列（2）第3个邮筒里至少投入一封信的(31)(31处的值H概率（3）联合分布函数在点2'2)22解（1）X、Y各自可能的取值均为0、1、2，由题设知，（X，Y)取（1，2）、（2，1）、（2，2）均不可能取其它值的概率可由古典概率计算如下：11P(X = 0,Y =0) = 3292_2P(X = 0,Y =1) = P(X =1,Y =0) =3"92P(X =1, Y =1) =9P(X = 2, Y = 0 = P(X =0,Y = 2) =O于是，（X，Y）的联合概率分布律为Y201X2-91-91-902192191012009（2）P（第三个邮筒里至少有一封信）一P第一、二个邮筒里最多只有一封信）1.2.25= P(X+Y ≤1) = P(X =0,Y =0)+P(X =0,Y=I)+P(X=1,Y =0) =9999即第三个邮简里至少有一封信的概率为否，9(31(3)(X,Y)的联合分布函数F(x,J)在点处的值(2°2)()-+-(x-0+(-)712~2-121993三、二维连续型随机变量及其联合概率密度
教学过程 附 注 中信的数量，求（1） X 与 Y 的联合分布列（2）第 3 个邮筒里至少投入一封信的 概率（3）联合分布函数在点 3 1 , 2 2 处的值 3 1 , 2 2 F ． 解 （1） X 、Y 各自可能的取值均为 0、1、2，由题设知， (X，Y) 取（1，2）、 （2，1）、（2，2）均不可能． 取其它值的概率可由古典概率计算如下： 2 2 1 1 { 0, 0} 3 9 2 2 { 0, 1} { 1, 0} 3 9 2 { 1, 1} 9 1 { 2, 0} { 0, 2} 9 P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 于是， ( , ) X Y 的联合概率分布律为 Y X 0 1 2 0 9 1 9 2 9 1 1 9 2 9 2 0 2 9 1 0 0 （2） P P { } { } 第三个邮筒里至少有一封信 ＝ 第一 、二个邮筒里最多只有一封信 1 2 2 5 { 1} { 0, 0} { 0, 1} { 1, 0} 9 9 9 9 = + = = = + = = + = = = + + = P X Y P X Y P X Y P X Y 即第三个邮筒里至少有一封信的概率为 9 5 ． (3) ( X Y, ) 的联合分布函数 F x y ( , ) 在点 3 1 , 2 2 处的值 3 1 3 1 , , 0, 0 1, 0 2 2 2 2 1 2 1 . 9 9 3 F P X Y P X Y P X Y = = = = + = = = + = 三、二维连续型随机变量及其联合概率密度
附 注教学过程将二维随机变量（X，Y）视为平面上的随机点，如果其取值充满某一区域，则(X,Y）为二维连续型随机变量.下面给出二维连续型随机变量及其联合概率密度的定义.1.二维连续型随机变量的定义定义3设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，如果存在非负可积的二元函数f(x,y)，使得对任意实数x、y，有F(x, y)=ff(u,v)dudhy则称(X,Y)为二维连续型随机变量，称函数f(x，J)为二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数，简称联合密度.与一维连续型随机变量类似，二维连续型随机变量联合概率密度函数具有以下基本性质：(1）非负性：f(x,y)≥0;(2)规范性：[ff(x,y)dxdy=1;反之，若一个二元函数具有以上两条性质就可以作为某二维随机变量的联合概率密度函数.此外，联合密度函数还具有下列性质："F(x, = f(x, ):(3）若f(x,J)在点(x,J)处连续，则有axoy（4）设D是xoy平面上任一区域，则点(x,y)落在D内的概率为P((X, Y)e D)= [[ f(x, y)dxd)F几何上，二元函数f(x,y）表示三维空间中的一张曲面，f(x,y)dxdy在几何上就表示xOy平面以上，曲面f(x,y)以下，小区域dxdy为底面积的曲顶柱体的体积．如图3.3所示
教学过程 附 注 将二维随机变量 ( , ) X Y 视为平面上的随机点，如果其取值充满某一区域，则 ( , ) X Y 为二维连续型随机变量．下面给出二维连续型随机变量及其联合概率密度的 定义． 1．二维连续型随机变量的定义 定义 3 设二维随机变量 ( , ) X Y 的分布函数为 F x y ( ) , ，如果存在非负可积的 二元函数 f x y ( ) , ，使得对任意实数 x、y ，有 ( ) ( , ) x y F x y f u v dudv − − = , 则称 ( , ) X Y 为二维连续型随机变量，称函数 f (x，y) 为二维随机变量 ( , ) X Y 的 联合概率密度函数，简称联合密度． 与一维连续型随机变量类似，二维连续型随机变量联合概率密度函数具有以下 基本性质： （1）非负性： f x y ( , ) 0 ； （2）规范性： f x y dxdy ( , ) 1 + + − − = ； 反之，若一个二元函数具有以上两条性质就可以作为某二维随机变量的联合概 率密度函数． 此外，联合密度函数还具有下列性质： （3）若 f (x, y) 在点 (x, y) 处连续，则有 2 ( ) ( , ) F x y f x y x y = ， ； （4）设 D 是 xoy 平面上任一区域，则点 (x, y) 落在 D 内的概率为 ( ) ( ) D P X Y D f x y dxdy = , , 几何上，二元函数 f x y ( ) , 表示三维空间中的一张曲面， f x y dxdy ( ) , 在几何 上就表示 xOy 平面以上，曲面 f x y ( ) , 以下，小区域 dxdy 为底面积的曲顶柱体的 体积．如图 3．3 所示．
教学过程附注2f(x,y)y图3.3密度函数几何图例2设二维随机变量（X，Y)的密度函数为[Cxy,0≤x≤1, 0≤y≤1f(x,y)=[o,其它求(1)常数C,(2)P(X+Y<I)，(3)P(X>Y).ty+y=l图3.4(a)图3.4(b)图3.4(c)图3.4密度函数的定义区间及其所求概率区间解（1）利用二维随机变量密度函数的性质(2）规范性，再由图3.4（a）所示，f(x,y)在阴影部分不为0，其余均为0，从而CCxydy=1= Jt [ (x,y)dxdy=fdaxf.故C=4（2）积分区域为图3.4（b）中阴影部分，从而P(X +Y <1)= [ dx[- 4xydy =JoC（3）积分区域为图3.4（c）中阴影部分，从而Jdxf,4xydy= 3P(X >Y)=
教学过程 附 注 图 3．3 密度函数几何图 例 2 设二维随机变量 ( ) X Y, 的密度函数为 0 1 0 1 ( ) 0 Cxy x y f x y = 其它 ， ， , ， 求（1） 常数 C ，（2） P X Y { 1} + ，（3） P X Y { } ． 图 3.4 (a) 图 3.4(b) 图 3.4 (c) 图 3．4 密度函数的定义区间及其所求概率区间 解 （1）利用二维随机变量密度函数的性质(2) 规范性，再由图 3.4（a）所 示， f x y ( ) , 在阴影部分不为 0，其余均为 0，从而 1 1 0 0 1 ( , ) 4 C f x y dxdy dx C x ydy + + − − = = = 故 C = 4 （2）积分区域为图 3.4（b）中阴影部分，从而 P X Y { 1} + = −x dx xydy 1 0 1 0 4 6 1 = （3）积分区域为图 3.4（c）中阴影部分，从而 1 0 0 3 ( ) 4 4 x P X Y dx xydy = = f x y ( ) , z x y O
教学过程附注小结：思考题：作业：超星学习平台线上作业；P87习题三：1，2，10
教学过程 附 注 小 结: 思考题： 作业：超星学习平台线上作业；P87 习题三 ：1，2，10
第十二讲3.1续3.2边缘分布一、常见的二维连续型随机变量本节边缘分布函数内容三、边缘分布列提要四、边缘密度函数教学目的掌握常见的二维连续型随机变量：理解边缘分布的概念与性质要求重点边缘分布的概念与性质难点由联合概率密度函数确定联合分布函数：学时2学时与主要边缘分布函数15分钟内容边缘分布列15分钟时间边缘密度函数50分钟分配小结及练习10分钟教学方法启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星学习平和手台的线上和线下融合的混合式教学段教学札记
第十二讲 3.1 续 3.2 边缘分布 本节 内容 提要 一、常见的二维连续型随机变量 二、边缘分布函数 三、边缘分布列 四、边缘密度函数 教学 目的 要求 掌握常见的二维连续型随机变量；理解边缘分布的概念与性质 重点 边缘分布的概念与性质 难点 由联合概率密度函数确定联合分布函数； 学时 与 主要 内容 时间 分配 2 学时 边缘分布函数 15 分钟 边缘分布列 15 分钟 边缘密度函数 50 分钟 小结及练习 10 分钟 教学 方法 和手 段 启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星学习平 台的线上和线下融合的混合式教学 教学 札记