《现代控制理论》第2章控制系统状态空间表达式的解 3.性质三 Φ-1(t)=Φ(-t) [e4]1=e-4r 这个性质意味着时间的逆转。 4.性质四 本(t)=AΦ(t)=Φ(t)A e4:=Ae"=e“A dt 状态转移矩阵或矩阵指数函数与A矩阵式可以交换的
《现代控制理论》第2章 控制系统状态空间表达式的解 3．性质三 At At e e t t − − − = Φ = Φ − 1 1 [ ] ( ) ( ) 这个性质意味着时间的逆转。 4．性质四 Φ (t) = AΦ(t) = Φ(t)A d At At At e Ae e A dt = = 状态转移矩阵或矩阵指数函数与A矩阵式可以交换的
《现代控制理论》第章控利系统状态空间表达式的解怎 5.性质五 若n阶方阵满足乘法交换律，即 AB=BA,则 e(A+B)t =edieBr 否则，上式不成立 这个性质说明，除非矩阵A与B是可交换的， 它们各目的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数函 数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的
《现代控制理论》第2章 控制系统状态空间表达式的解 5．性质五 若n阶方阵满足乘法交换律,即 AB=BA, 则 A B t At Bt e = e e ( + ) 否则,上式不成立. 这个性质说明，除非矩阵A与B是可交换的， 它们各目的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数函 数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的
《现代控制理论》第2章控制系统状态空间表达式的解 二状态转移矩阵的性质总结 1.①(t)D(x)=D(t+x)或ee4r=e+) 2.Φ(t-t)=I或e1-0=1 3.[Φ(=Φ(-)或e"=e4 4.(t)=AD(t)=D()A或 =Aes=e".A dt 5.Φ(t2-4)Φ(41-t)=Φ(t2-t)或 e4-4)e4-o)=e42-o) 6.当AB=BA时，则有eeB=eA+Br
《现代控制理论》第2章 控制系统状态空间表达式的解 二.状态转移矩阵的性质 总结 ( ) 1. ( ) ( ) ( ) τ τ τ τ + Φ Φ = Φ + = At A A t t t 或 e e e t t I e I A t t Φ − = = ( − ) 2. ( ) 或 [ ] [ ] At At t t e e − − − Φ = Φ − = 1 1 3. ( ) ( ) 或 e Ae e A dt d t A t t A At At At = = ⋅ 4. Φ ( ) = Φ( ) = Φ( ) 或 2 1 1 0 2 0 21 10 20 (-) (-) (-) 5. ( - ) ( - ) ( - ) At t At t At t tt tt tt ee e Φ Φ =Φ = 或 At Bt A B t AB BA e e e( ) 6. , + 当 = 时 则有 =
《现代控村理论》第章控制系统状态空间表达式的解富 (0)=1 可由 0=e"=1++习2++有+ 的定义式中令t=0得证。 结合性质1，有 Φ(0)=A
《现代控制理论》第2章 控制系统状态空间表达式的解 Φ(0) = I 可由 = t = + + ++ Ak t k + k t e I At A t ! 1 2! 1 ( ) A 2 2 Φ 的定义式中令 t = 0 得证。 结合性质1，有 Φ (0) = A
《现代控制理论》第2章控制系统状态空间表达式的解 【例】已知线性系统的状态转移矩阵Φ()， 试求该系统的状态矩阵A。 0 解由状态转移矩阵的性质二、四知 Φ()=AΦ(t),Φ(0)=1 4a-[2l-
《现代控制理论》第2章 控制系统状态空间表达式的解 【例】已知线性系统的状态转移矩阵Φ(t)， 试求该系统的状态矩阵A 。 ( ) ( ), (0) t At I • Φ =Φ Φ = 2 2 2 2 2 22 ( ) 2 tt t t tt t t ee e e t ee e e −− − − −− − − − −+ Φ = − −+ 2 2 • 0 2 2 0 22 24 0 2 ( ) 2 4 1 3 t tt t t t tt t t ee ee A t ee ee −− −− = −− −− = −+ − − =Φ = = −+ − − 解 由状态转移矩阵的性质二、四知