我们对矩阵定义了加减、数乘、乘法、方阵 的乘方与多项式、转置等运算，矩阵无除法运算！ X=B关x. A 但“除”从“乘” 来： 3x=5 二. 那么，AX=B可否类此，两边同乘以一矩阵得： X= 引入新概念 逆矩阵
我们对矩阵定义了加减、数乘、乘法、方阵 的乘方与多项式、转置等运算. 矩阵无除法运算! 但“除”从“乘” 来： 那么,AX＝B可否类此,两边同乘以一矩阵得: 引入新概念——逆矩阵 3x＝5 1 3 ·3x＝ ·5 1 3 x＝. AX＝B B X A × = X＝. 1
2.3逆矩阵 一、逆矩阵的概念 1.定义：设AnXm,若AB=BA=E,称B是4的逆矩阵， 记B=A口1，并称A可逆. ()由A、B可交换知：A、B为同阶方阵， (2)B是A的逆矩阵→A、B互为逆矩阵. :0000司 注]不可写作，”一般B≠B雪 B 而将记作，三者均为A了
2.3 逆矩阵 一、逆矩阵的概念 1.定义:设An×n ,若AB＝BA＝E,称B是A的逆矩阵, 记B＝A-1 ,并称A可逆. (2)B是A的逆矩阵 A、B互为逆矩阵. 1 2 1 2 1 1 2 1 2 0 1 0 1 1 0 1 0 1 − − = = 例： [注] A-1不可写作 ，∵一般A-1B≠BA-1 ， 1 A 而将A-1记作 ，二者均为 了！ (1) 由A、B可交换知: A、B为同阶方阵. 1 A B A
2.性质： 1)A可逆 了A唯一 2)A)1=A 3)k4)尸1=三A40)房 4)(AB)1=BA 5)(4A④=( 6) A 证：1)设B、C均是A的逆，则4B=BA=E=AC=CA B=BE=B(AC)=(BA)C=EC-C 5)A(A)I=(A)=E=E,同理，(A)A=E 04-=17 由此亦可见，A可逆→A≠0 [注A,B均可逆，A+B未必可逆，即使A+B可逆，一般 (A+B)丰A1+B-I例：
2. 性质： 1) A可逆 A-1唯一； 2) (A-1 ) -1＝ 1 1 A k − 3) (kA) -1＝ 4) (AB) -1＝ 5) (AT ) -1= (A-1 ) T ; 6) 1 . A 证:1)设B、C均是A的逆,则 B＝BE＝B(AC)＝(BA)C＝EC 5) ,同理, 6) 1 AA E − = 1 A A 1 − = 1 1 A A − = 由此亦可见，A可逆 A 0 [注]A,B均可逆,A+B未必可逆,即使A+B可逆,一般 (A＋B)－1≠A－1＋B－1 . 例： 1 A − = AB＝BA＝E＝AC＝CA 故 ＝C A； (k≠0); B-1A-1 ; AT (A-1 ) T＝ (A-1A) T＝ET＝E (A-1 ) TAT＝E AA-1＝E − + − 1 1 1 1
二、矩阵可逆的充分必要条件 1.定义：若4n≠0，则称4为非奇异的 2.定理：Anxn可逆←一A非奇异 证：→性质6)已证；三（将逆矩阵拿出来！） A 设B Ap A An2 A是A中元素的 A 代数余子式 Au Ann 12 A 行列式 421 L22 0· AB 02n An2 按行展 A 开定理 及推论！
二、矩阵可逆的充分必要条件 1.定义：若 0 ,则称A为非奇异的. An n 2.定理：An×n可逆 A非奇异 证: 性质6)已证; (将逆矩阵拿出来!) 11 21 1 12 22 2 1 2 1 n n n n nn A A A A A A B A A A A = 设 11 12 1 11 21 1 21 22 2 12 22 2 1 2 1 2 1 n n n n n n nn n n nn a a a A A A a a a A A A AB A a a a A A A = 行列式 按行展 开定理 及推论! Aij是 A 中元素aij的 代数余子式
AB 21 （l22 a2n Ar A An2 A A n2 A A =E A 同理可证BA=E (行列式按列展 开定理及推论！) .B三A=1
11 12 1 11 21 1 21 22 2 12 22 2 1 2 1 2 1 n n n n n n nn n n nn a a a A A A a a a A A A AB A a a a A A A = 1 A A E A A = = 同理可证 BA =E (行列式按列展 开定理及推论 ! ) ∴ B ＝ A － 1