《现代控制理论》第2章控制系统状态空间表达式的解 控制系统的空间表达式 √1.1状态变量及状态空间表达式 √1.2状态变量及状态空间表达式的模拟结构图 √1.3状态变量及状态空间表达式的建立（一） √1.4状态变量及状态空间表达式的建立（二） √1.5状态矢量的线性变换（坐标变换） √1.6从状态空间表达式求传递函数阵 第 ×1.7离散时间系统的状态空间表达式 X1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式 章
《现代控制理论》第2章 控制系统状态空间表达式的解 控制系统状态空间表达式的解 √1.1 状态变量及状态空间表达式 √1.3 状态变量及状态空间表达式的建立(一) √1.2 状态变量及状态空间表达式的模拟结构图 √1.5 状态矢量的线性变换(坐标变换) √1.4 状态变量及状态空间表达式的建立(二) ╳1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式 √1.6 从状态空间表达式求传递函数阵 ╳1.7 离散时间系统的状态空间表达式
《现代控制理论》第2章控制系统状态空间表达式的解怎 控制系统状态空间表达式的解 V2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解） V2.2 矩阵指数函数—状态转移矩阵 √2.3 线性定常系统非齐次方程的解 ×2.4 线性时变系统的解 ×2.5 离散时间系统状态方程的解 第二章 ×2.6 连续时间状态空间表达式的离散化
《现代控制理论》第2章 控制系统状态空间表达式的解 控制系统状态空间表达式的解 √ 2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解) √ 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 √ 2.3 线性定常系统非齐次方程的解 ╳ 2.4 线性时变系统的解 ╳ 2.5 离散时间系统状态方程的解 ╳ 2.6 连续时间状态空间表达式的离散化
《现代控制理论》第2章控制系统状态空间表达式的解 第二章状态空间表达式的解 §2-1线性定常齐次状态方程的解 齐次状态方程=Ax() (2-1) 1.若初始时刻t=t,初始状态x(t)=x 则式2-1)有唯一确定解 x)=e4-x(6)t≥t (2-2) 2.若初始时刻t。=0,初始状态x(0)=x, 则其解为 x()=ex,t≥0 (2-3)
《现代控制理论》第2章 控制系统状态空间表达式的解 控制系统状态空间表达式的解 第二章 状态空间表达式的解 §2-1 线性定常齐次状态方程的解 齐次状态方程 x = Ax(t) (2 − 1) 0 0 0 1. 若初始时刻 t = t ,初始状态 x(t ) = x 则式(2-1)有唯一确定解 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) (2 2) At t xt e xt t t - − = ≥ 0 0 2. 若初始时刻 t = 0,初始状态 x(0) = x 则其解为 0 ( ) 0 (2 3) At xt e x t - = ≥
《现代控制理论》第章控利系统状态空间表达式的解怎 =Ax(t) (2-1) 证明假设式(2-1)的解x()为t的矢量幂级数形式， 即 x()=b+b,t+b,t2+.+bt+.(2-4) 带入式(2-1)得： b+2bt+3b,t2+.+kh,t-1+. =A(b。+b,t+b,t2+.+bt+.)(2-5) 既然式(2-4)是式(2-1)的解，则式(2-5)对任意时刻都 成立，故的同此幂项的系数应相等，有： 1 Dy Ab 21=246, b2 点=34孤，=0.么=k0 k-
《现代控制理论》第2章 控制系统状态空间表达式的解 证明 假设式(2-1)的解x(t)为t的矢量幂级数形式, 即 (t) (2 1) x Ax - = 2 01 2 ( ) (2 4) k k x t b bt bt bt - =+ + ++ + 带入式(2-1)得： 2 1 12 3 2 01 2 23 ( ) (2 5) k k k k b b t b t kb t Ab bt bt bt - − + + ++ + = + + ++ + 既然式(2-4)是式(2-1)的解,则式(2-5)对任意时刻t都 成立，故t的同此幂项的系数应相等，有： 2 1 0 2 1 0 3 k 3 2 0 k-1 0 1 1 2 2! 11 1 1 3 3! k ! k b Ab b Ab A b b Ab A b b Ab A b k = = = = = = =
《现代控制理论》第2章控制系统状态空间表达式的解 x(t)=b。+b,t+b,2+.+btk+.(2-4 在式2-4中，令=0，可得： 4=246 b=x(0)=x 6346,. 将以上结果带入式(2-4)，故得： 0=(+A+A++A+x,(2-6 2 k!1 右边括号内展开式是n×n矩阵，记为矩阵指数函数e4t: e"=1+4+A?++4性+ (2-7) 2 k! 于是式(2-6)可表示为 x(t)=exo 解题思路 再用(t-t)代替(t-0),同样可证明式(2-2)的正确性
《现代控制理论》第2章 控制系统状态空间表达式的解 2 01 2 ( ) (2 4) k k x t b bt bt bt - =+ + ++ + 在式(2-4)中，令 t=0，可得： 0 0 bx x = = (0) 将以上结果带入式(2-4)，故得： 2 2 0 1 1 ( ) ( ) (2 6) 2! ! k k x t I At A t A t x - k =+ + ++ + 右边括号内展开式是n×n矩阵,记为矩阵指数函数eAt： 1 1 2 2 (2 7) 2! ! At k k e I At A t A t - k =+ + + + + 于是式(2-6)可表示为 0 ( ) At xt e x = 再用(t-t0)代替(t-0),同样可证明式(2-2)的正确性。 解题思路