《现代控制理论》课程教学资源——线性代数第3版课件_2-4初等矩阵

复习 逆矩阵定义：AB=BA=E,A、B互为逆矩阵，B=A 逆矩阵性质： )A可逆 4唯一 2)(A1）1=A; 3)(kA)1= 二AK0方 4)(4B)1-B4 5)(4A01=(A9 a迪台M8田 推论：AnxaBn×mE→A,B可逆，且A-1=B,B-1=A 重要结论：A=AA;AM-AAAE B

逆矩阵定义:AB＝BA＝E,A、B互为逆矩阵. B=A-1 复 习 逆矩阵性质: 1) A可逆 A-1唯一； 2) (A-1 ) -1＝ 1 1 A k − 3) (kA) -1＝ 4) (AB) -1＝ 5) (AT ) -1= (A-1 ) T ; 6) 1 . A 1 A − = A； (k≠0); B-1A-1 ;  可逆的充要条件定理:   A 0 1 1 A A A −  = 重要结论: AA A A A E   = = 1 A A A ;  − = 推论:An×nBn×n =E A,B可逆,且A－1=B, B－1  =A −       1 A O O B −       1 O A B O An×n可逆 ,且 − −   =     1 1 A O O B − −   =     1 1 O B A O

2.5初等变换与初等矩阵 矩阵的初等变换： 1.初等行变换1)交换矩阵的两行 2)矩阵某行乘以非零数 3)矩阵某行k倍加至另一行 2.初等列变换1)交换矩阵的两列 2)矩阵某列乘以非零数 3)矩阵某列k倍加至另一列 记号与行列式性质记号类创 3.矩阵等 若干次 大①矩阵一[1②联结 若矩阵A初等变换B,则称A与B等价，记A≌B. 等价关系具有①反身性A≌A; ②对称性A≌B→B≌A街 ③传递性A≌B,B≌C→A≌C

1)交换矩阵的两行 2)矩阵某行乘以非零数 3)矩阵某行k倍加至另一行 一、矩阵的初等变换： 2.5 初等变换与初等矩阵 1.初等行变换 1)交换矩阵的两列 2)矩阵某列乘以非零数 3)矩阵某列k倍加至另一列 2.初等列变换 3.矩阵等价 若矩阵A B，则称A与B等价，记A≌B. 等价关系具有①反身性A≌A； ③传递性A≌B,B≌CA≌C. 若干次 初等变换 ②对称性A≌B  B≌A； 记 号 与 行 列 式 性 质 记 号 类 似 ！ ①矩阵—[ ]②联结—

4.定理1 有限次 E A=(L月mxn初等变换 D 称D为A的 等价标准形. 3 3 12 A ① 3 0 -2 2 2 1 00-5 01 00 00 变换前后矩阵不同，故以箭头联结，那么两者能 否建立等式关系？为此引入

1 1 2 3 3 1 2 2 4   −     − →   − −   1 1 2 0 0 5 0 0 0   −   −       变换前后矩阵不同，故以箭头联结，那么两者能 否建立等式关系？为此引入 4. 定理1 E O r D O O   =     3 3 1 1 1 2 2 2 4 A   −   = − →     − −   有限次 初等变换 A=(aij)m×n 1 0 0 0 0 5 0 0 0     → − →       1 0 0 0 1 0 000           ——称D为A的 等价标准形

二、初等矩阵概念 1.定义：三种初等变换<>三种初等矩阵 单位矩 阵经一次初等变换所得矩阵 ①初等对换矩阵E6,) E)= (交换，列同此)

二、初等矩阵概念 1.定义:三种初等变换 三种初等矩阵——单位矩 阵经一次初等变换所得矩阵.  ①初等对换矩阵E(i,j) 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1       (i) (i) (j) (j) (交换i,j列同此) E(i,j)= 1 1 0 0

②初等倍乘矩阵Ei(k) E)= (k0) 列k倍同此) ③初等倍加矩阵Ei,k) E(i,i(k= 注意：列k倍 加至列同此)

②初等倍乘矩阵E(i(k)) 1 1 1 1 1       (i列k倍同此) (i) ③初等倍加矩阵E(i, j(k)) 1 1 0 1 1       (i) (j) (注意：i列k倍 加至j列同此) (i) (i) (j) E(i(k))= k E (i, j(k))= k (k≠0)