复习：二、线性组合（线性表示） 定义：给定一组向量阝，c4,02,&,若存在一组数 k1,k2,.,k,使B=k1必1+k2必2+.+k,0,则称向量B 是向量组必1,2，C的线性组合，或称向量B可 由向量组C,02,.,0,线性表示。 1.任=n维向量a=(41,L2,.,4n)都是R的基本单位 向量组=(1,0，.，0)，2=(0,1，.，0)，6m=(0,0,1) 的线性组合：C=4161+282++4nEn 2. 41 12 b, B 可由y, 21 4z Azn 线性 表示 (mi Am2 Amn 台x0,+x22+.+x,@n=f(线性方程组)有解
1. 任一n维向量 都是Rn的基本单位 向量组 1 2 (1,0, ,0), (0,1, ,0), , (0,0, ,1) n = = = = + + + a a a 1 1 2 2 n n 定义: 给定一组向量 , 若存在一组数 k1 ,k2 , . ,ks ,使 ,则称向量 是向量组 的线性组合，或称向量 可 由向量组 线性表示。 , , , , 1 2 s = + + + k k k 1 1 2 2 s s 1 2 , , , s , , , 1 2 s 的线性组合: 1 2 ( , , , ) = a a an 复习： 可由 1 2 m b b b = 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 , , , n n n m m mn a a a a a a a a a = = = 线性 表示 + + + = x x x 1 1 2 2 n n (线性方程组)有解 2. 二、线性组合(线性表示)
三、线性相关与线性无关 齐次线性方程组的向量形式x必+x2+.+x,n=O .'零向量是任一组同维向量的线性组合 0=0a+0a,+.+0an.齐次线性方程组必有零解 齐次线性方程组有非零解 今 存在不全为0的k,k2,kn 称01,02，·，Qn 使k11+k202+.+knCn=0 线性相关 定义：给定向量组0y,02,心，若存在不全为零的 数k1,k2,k,使k@1+k2a2十.+k,Q,=O,则称向量 组，Q2,Q,线性相关；线性无关”定义若当 且仅当kk2=.=k,=0时上戳成立，则称必，C2,Q, 线性无关 返回
三、线性相关与线性无关 齐次线性方程组的向量形式: 1 1 2 2 + + + = n n x x x O ∵零向量是任一组同维向量的线性组合 = + + + 1 2 0 0 0 O n ∴齐次线性方程组必有零解 齐次线性方程组有非零解 存在不全为0的k1 , k2 , ., kn 使 k k k O 1 1 2 2 + + + = n n ——称 , , , 1 2 n 定义：给定向量组 , 若存在不全为零的 数k1 , k2 , ., ks ,使 ,则称向量 组 线性相关； k k k O 1 1 2 2 + + + = s s (“线性无关”定义 ?) 若当 线性相关. , , , 1 2 s , , , 1 2 s 且仅当k1 =k2 =.=ks=0时上式成立, 则称 线性无关. , , , 1 2 s 返回
结论：(1)含有零向量的任一向量组必线性相关。 (2)一个向量0线性相关→0C=O 3)两个向量线性相关今对应分量成比例 2 n (2n (4)1 421 l22 ,02 ,.,Cn 线性相关 (无) (m2 局敏朱知宝数，夜琴解°物 向量个数=未知量个数； 向量维数=方程个数 411 12 定理1n个n维向量线性相关→ 21 （22 =0 无关 ≠0) 0t2 定理2n十1个n维向量必线性相关 (,'方程个数<未知量个数，必有非零解) 返回
(2)一个向量 线性相关 = = = 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 , , , n n n m m mn a a a a a a a a a (4) 线性相关 + + + = x x x O 1 1 2 2 n n 有非零解 r < n (无) (仅有零解) (r＝n) 定理1 n个n维向量线性相关 11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a a a a = (无关) 定理2 n＋1个n维向量必线性相关 (∵方程个数<未知量个数,必有非零解) 结论:(1) 含有零向量的任一向量组必线性相关。 (3)两个向量线性相关 对应分量成比例 向量个数 向量维数 ＝未知量个数； ＝方程个数. (≠0) = O 返回
例1基本单位向量组，62，￡n线性无关E=1≠0 例2.判断=(1,2,1,5)'，42=(2,1,1,1) =(4,3,1,11)是否线性相关 解：设k1@1+k22+k3a=0则 2 5 5 1 3 00 5 -9 9 r=2<3=向量个数，.必1，C2,C线性相关 重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系. B可否由C,0,线性表示 竖排行变换，B放末列. C1,.,心，是否线性相关 竖排行变换 返回
例1 基本单位向量组 1 2 , , , n 线性无关 E = 1 0 例2.判断 ( , , , ) , ( , , , ) , 1 2 1 2 1 5 2 1 1 1 T T = − = − 是否线性相关. 1 2 4 2 1 3 1 1 1 5 1 11 A − = − − − − → − − 1 2 4 055 0 3 3 099 → 1 2 4 0 1 1 000 000 ∵r = 2 < 3 ＝向量个数， 1 2 3 , , 线性相关 解:设 k k k O 1 1 2 2 3 3 + + = 则 1 2 3 ( , , , ) 3 4 3 1 11 T = − 重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系. 可否由 1 , , s 线性表示—— 竖排行变换，放末列. 1 , , s是否线性相关——竖排行变换. 返回
例3.证明：若a,f,y线性无关，则a+f,阝+Y,y+Q 线性无关 (目标：k,=0) 证：设k(a+B)+k(B+Y)+k(y+a)=O() 则(k,+k3)a+(k1+k2)B+(k2+k3)y=O k1+k3=0101 而a,f,y 线性无关 ÷k1+k2=0✉110=2≠0 k2+k3=0 011 方程组只 有零解k=0 即只有k=k=k=0时)式才成立. ∴，a+B,B+Y,Y+0线性无关 思考： Q1,c2,Q3,0线性无关→Q+a,Q+%3,4,+04,Qa+线性 无关？×B,+B,=B2+B,(奇数个向量时结论成立) 返回
例3.证明：若 线性无关, 则 线性无关 , , + + + , , 证:设 k k k O 1 2 3 ( ) ( ) ( ) + + + + + = (*) 则 ( ) ( ) ( ) k k k k k k O 1 3 1 2 2 3 + + + + + = 而 线性无关 + = + = + = 1 3 1 2 2 3 0 0 0 k k k k k k = 1 0 1 1 1 0 2 0 0 1 1 ∴方程组只 有零解ki = 0 (目标: ki = 0) 即只有k1 =k2 =k3=0时(*)式才成立 . 线性无关 线性无关 线性 无关? , 1 2 3 4 , , , + + + + 1 2 2 3 3 4 4 1 × 1 3 2 4 + = + (奇数个向量时结论成立) , , + + + , , 思考： 返回