《现代控制理论》第章控利系统状态空间表达式的解怎 齐次状态方程文=Ax() (2-1) 两边取拉氏变换得sX(s)-x(O)=AX(s) (sI-A)X(s)=x(0) 两边左乘(sI-A) 得X(s)=(sI-A)'x(0) 齐次方程的解为 x(t)=L[(sI-A)x(0) =e4x(0) 解题思路 矩阵指数函数 e"=L(SI-A)]
《现代控制理论》第2章 控制系统状态空间表达式的解 齐次状态方程 x = Ax(t) (2 − 1) 两边取拉氏变换得 s X(s)- x(0) = A X(s) (sI − A)X(s) = x(0) 1 ( ) − 两边左乘 sI − A -1 得 ( ) ( - ) (0) X s sI A x = 齐次方程的解为 1 1 ( ) [( - ) ] (0) (0) At x t L sI A x e x − − = = 1 1 ( ) At e L sI A − − = − 矩阵指数函数 解题思路
《现代控制理论》第2章控制系统状态空间表达式的解 §2-2状态转移矩阵 一状态转移矩阵 齐次方程的自由解为 x(t)=ex。或x(t)=e4-x(t) 由解的表达式看出，系统自由运动的轨线趴 x(to)到x()的转移，其转移特性由ei或e) 决定，所以称e“为状态转移矩阵。 记为①()=e及D(t-tn)=et-to) 文=Ax(①的解为 x(t)=④(t)x(0)或x(t)=Φ(t-to)x(t)
《现代控制理论》第2章 控制系统状态空间表达式的解 §2-2 状态转移矩阵 一.状态转移矩阵 齐次方程的自由解为 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 x t e x x t e x t At A t−t = 或 = 决定 所以称 为状态转移矩阵。 到 的转移，其转移特性由 或 由解的表达式看出 系统自由运动的轨线是从 At At A t-t e x x e e , (t ) (t) , ( ) 0 0 (t-t ) 0 0 (t) (t -t ) At A 记为 Φ = e 及 Φ = e ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) (t) 0 0 x t t x x t t t x t x Ax = Φ = Φ − = 或 的解为
《现代控制理论》第章控利系统状态空间表达式的解怎 几何意义 以二维状态矢量为例，可用图形表示，如图2.所示 从图可知，在t=0时，x(O) 10 X20 in=0 若以此为初始条件，且己 知④()，那么在t=时的状态将为 x(h) Φ()x(0)(8) x21 若已知④(2)，那么t=2时的状态将为 X12 图2.1状态转移轨线 x(2)= Φ(2)x(0)(9) X22 即状态从x(O)开始，将按④()或重(2)转移到x()或x(2),在状态空 间中描绘出一条运动轨线。 若以t=方作为初始时刻，则状态x()是初始状态从转移到2的状 态将为 x(2)=Φ(2-)x()(10)
《现代控制理论》第2章 控制系统状态空间表达式的解 几何意义
《现代控制理论》第2章控制系统状态空间表达式的解 用式(8)的x()代入上式，可得 x() Φ()x(0)(8) x(2)=Φ(2-)Φ(i)x(0) (11) 21 式(11)表示从x(0)转移到x(),再由x()转移到x(2)的运动规律。 x(2】 =Φ(2-)x(t) 比较式（⑨）和式(11)，可知转移矩阵（或矩阵指数）有以下关系 x(2) 2 (2)x(0)(9) Φ(2-)Φ()=④(2) 22 或eA(2-)e=eA(12) 这种关系称为组合性质。 综上分析可以看出：利用状态转移矩阵，可以从任意指定的初 始时刻状态矢量x（。),求得任意时刻t的状态矢量x(t)。 换言之，矩阵微分方程的解，在时间上可以任意分段求取，这 是动态系统用状态空间表示法的又一优点。因为在经典控制理 论中，用高阶微分方程描述的系统，在求解时，对初始条件的 处理是很麻烦的，一般都假定初始时刻仁0时.初始条件也为 零，即从零初始条件出发，去计算系统的输出响应
《现代控制理论》第2章 控制系统状态空间表达式的解 综上分析可以看出：利用状态转移矩阵，可以从任意指定的初 始时刻状态矢量x（ t0），求得任意时刻t 的状态矢量x（ t ） 。 换言之，矩阵微分方程的解，在时间上可以任意分段求取，这 是动态系统用状态空间表示法的又一优点。因为在经典控制理 论中，用高阶微分方程描述的系统，在求解时，对初始条件的 处理是很麻烦的，一般都假定初始时刻t=0 时．初始条件也为 零，即从零初始条件出发，去计算系统的输出响应
《现代控制理论》第2章控制系统状态空间表达式的解 2.2.2 状态转移矩阵矩阵指数函数)的基本性质 1.性质一 Φ(t)Φ()=Φ(t+T) eA(r)elleAr 也称组合性质，意味着从转移到O,再从O转移到τ的组合。 2.性质二 Φ(t-t)=e4t-)=I 意味着状态从时刻t又转移到时刻t,显然状态矢量是不变的
《现代控制理论》第2章 控制系统状态空间表达式的解 2.2.2 状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质 1．性质一 Φ Φ =Φ + () ( ) ( ) t t τ τ A t At A ( ) e ee +τ τ = 也称组合性质，意味着从τ转移到0，再从0转移到τ的组合。 2．性质二 ( ) ( ) At t tt e I − Φ− = = 意味着状态从时刻t又转移到时刻t，显然状态矢量是不变的