复习： 1.b是1，L,M,的线性组合(b可由M1,L,4,线性表示) 0Sk,k2,L,k,'b=k41+k,42+L+k,4, 2.任一n维向量a=(41,42,L,4n)都是R的基本单位 向量组的线性组合：M=a,e1+ae2+L+nen 41mx+4122+L+41nxn=b b可表示为 3 2x1+422x2tL+42nx,=b 1,429L,n M 有解U 的线性组合 am amnxn=br 〔组合系数就是 方程组的一个解)
1. 是 的线性组合( 可由 线性表示) 2. 任一n维向量 都是Rn的基本单位 向量组的线性组合: 有解 (组合系数就是 方程组的一个解) 3. 可表示为 的线性组合 复习：
a1,a,lL,a线性相关8k,k,L,k,不全为0， 'k41+k02+L+k,4,=0 4aL,4,线性无关 k141+k242+L+k,0,=0 仅当k=k2=.=k,=0时成立. i1mX1+412x2+L+41mXn=0 51 421X1+422x2+L+42mXm=0 1,2L,n M 有非零解U 线性相关 (只有零解) (无) am=0 r<n (r=n) ★重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系. h 可否由1，L,a、线性表示一竖排行变换，b放末列. a1>L,4、是否线性相关 竖排行变换
有非零解 (无) (只有零解) r < n (r = n) 5. 线性相关 线性相关 4. 不全为0， 线性无关 仅当k1 =k2 =.=ks=0时成立. 重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系. 可否由 线性表示—— 竖排行变换， 放末列. 是否线性相关—— 竖排行变换
定理1.n个n维向量线性相关（线性无关） U 其排成的行列式值为0（不为0） 定理2.向量个数>向量维数，向量组线性相关. 定理3.部分相关D整体相关；整体无关D部分无关 定理4.短无关D长无关；长相关卫短相关 定理5.向量组m1,42,L,4,(S32线性相关（线性无关） U其中至少有一个向量是其余向量的线性组合 (任一向量都不能由其余向量线性表示) 定理6.a1,M2,L,a线性无关，b,a1,a2,L,a,线性相关 Db可由01,02，L,a,唯一线性表示
定理5.向量组 线性相关 (线性无关) (任一向量都不能由其余向量线性表示) 其中至少有一个向量是其余向量的线性组合 定理3.部分相关 整体相关；整体无关 部分无关 定理4. 短无关 长无关；长相关 短相关. 定理6. 线性无关， 线性相关 可由 唯一线性表示. 定理1. n个n维向量线性相关 (线性无关) (不为0) 定理2.向量个数>向量维数， 其排成的行列式值为0 向量组线性相关
新课 3.3向量组的秩 线性无关向量组的部分组线性无关，线性相关向量 组的部分组未必线性相关：一个向量非零即无关， 两个向量对应分量不成比例则无关，三个向量， 逐步可将线性无关部分组扩至极大，故引入概念： 一、向量组的极大无关组 定义若向量组414，L,0,的部分组4方，4，L,4 满足：()44，L,4线性无关； (2)从向量组4,42，L,4,中任意另取一个向量（若还 有)，添到，4工，4，中，所得新部分组都线性相关 则称a,L,4为向量组1，a2,L,a的一个极大 线性无关部分组，简称极大无关组 返回
新课 3.3 向量组的秩 线性无关向量组的部分组线性无关, 一、向量组的极大无关组 定义 若向量组 的部分组 满足:(1) 线性无关; 则称 为向量组 的一个极大 线性无关部分组,简称极大无关组. (2)从向量组 中任意另取一个向量(若还 有),添到 中,所得新部分组都线性相关. 线性相关向量 组的部分组 未必线性相关：一个向量非零即无关, 两个向量 对应分量不成比例则无关，三个向量. ， 逐步可将线性无关部分组扩至极大，故引入概念: 返回
由定理6，定义中条件(2)可换为：(2)向量组中的任 意一个向量都可以由A,4,L,4线性表示. 注：)向量组有极大无关组U向量组含有非零向量 (2)线性无关向量组的极大无关组就是该向量组. 3)e1,e2,L,em为R的一个极大无关组 (4)向量组的极大无关组可能不止一个.例： a1=(1,0),a2=(0,10,a3(1,10,u4(0,2). 41,4线性无关，而3个二维向量必线性相关.故 0,42是4,42,43，M4的一个极大无关组 4,43和03，L4等也是1,42，M3,M的极大无关组， 向量组的所有极大无关组含向量个数相同(？) 返回
注: (2)线性无关向量组的极大无关组 由定理6，定义中条件(2)可换为：(2)向量组中的任 意一个向量都可以由 线性表示. (1)向量组有极大无关组 向量组含有非零向量 (3) 为Rn的一个极大无关组 . (4)向量组的极大无关组可能不止一个. 例： 向量组的所有极大无关组含向量个数相同( ? ) 线性无关, 而3个二维向量必线性相关. 故 是 的一个极大无关组 和 等也是 的极大无关组. 就是该向量组. 返回