复习 本章所讨论的一般方程组固定编号： 01mX1+0122+.+41mXn=b1 非齐次 2iX1+22X2++02mXnm=b2 0m1+0m2水2十.+mnXn=bn 41mX1+12X2++41mxn=0 齐次 ☑211+22X2++L2mXn=0 am+am2++am=0
复习 本章所讨论的一般方程组固定编号： n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 非齐次 齐次 (1) (2)
方程组()的系数矩阵与增广矩阵记为： 12 n C41 b 021 02 C21 C22 02n b, A= am2 a mn m X101+X2 必2十.十xnn=B一线性方程组 的向量形式 av 12 ain 021 b, "ml 'm2 b mn
11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a = 方程组(1)的系数矩阵与增广矩阵记为： 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b = 1 1 2 2 n n x x x + + + = 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n m m mn m a a a b a a a b a a a b — 线性方程组 的向量形式
1.P是，.，Q,的线性组合(B可由1，C,线性表示) d 3k1,k2,k,3f-k101+k,Q2十.+k,0&, 2.任一n维向量Q=(a1,42,4n)都可由R的基本 单位向量组唯一线性表示： C=4181+a282+.+4n8n 4mX1+12X2+.+41nXn=b B可表示为 3.21X1+222++2mXm=b2 有解一 C102,Cn 的线性组合 amxam2x2amnxn=b 组合系数就是 方程组的一个解) 01 02 2025/4/6 第二章线性方程组
2025/4/6 第二章 线性方程组 3 = + + + a a a 1 1 2 2 n n 1. 是 的线性组合( 可由 线性表示) , , 1 s , , 1 s 2. 任一n维向量 都可由Rn的基本 单位向量组唯一线性表示: 1 2 ( , , , ) = a a an d , , , , k k k 1 2 s k k ks s = + + + 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 有解 1 2 n (组合系数就是 方程组的一个解) 3. 可表示为 的线性组合 , , , 1 2 n
4a,a,@线性相关台h,k,不全为0， )k1a+k2C2+.+k,C,三 01,02,0,线性无关兮k1C1+k202+.+k,0,=O 仅当kk2==k,0时成立 41m1+012X2+.+41mXn= 5. 021X1+22X2+.+02mXn=0 0C1,02,0n 有非零解一 线性相关 (只有零解) 无) m式1+m2式2 .+mn=0 ←→r<n (r=n) 重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系， B可否由1，.，0&，线性表示 竖排行变换，B放末列. c1,.,Q,是否线性相关一竖排行变换. 求向量组的秩，并将其余 竖排行变换
11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = 有非零解 (无) (只有零解) 1 2 n r < n (r = n) 5. 线性相关 , , , 1 2 n , , , 1 2 s 线性相关 d , , , k k k 1 2 s 不全为0， k k k O 1 1 2 2 s s + + + = 4. 1 2 , , , s 线性无关 d 仅当k1 =k2 =.=ks=0时成立. k k k O 1 1 2 2 + + + = s s 重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系. 可否由 1 , , s 线性表示—— 竖排行变换， 放末列. 1 , , s 是否线性相关——竖排行变换. 求向量组的秩,并将其余.——竖排行变换
定理1.n个n维向量线性相关（线性无关） 一其排成的行列式值为0（不为0） 定理2.向量个数>向量维数，向量组线性相关 定理3.部分相关→整体相关；整体无关→部分无关 定理4.短无关→长无关；长相关→短相关 定理5.向量组@，a2,a,(≥2)线性相关（线性无关） 一→其中至少有一个向量是其余向量的线性组合 (任一向量都不能由其余向量线性表示 定理6.，Q2,a,线性无关，B,Q,Q2,.,Q,线性相关 →阝可由必，必2，'，Q,唯一线性表示 定理7.向量组①可由D,（D可由（Ⅲ）线性表示 →向量组I可由D线性表示
定理5.向量组 1 2 , , , ( ) s s 2 线性相关(线性无关) (任一向量都不能由其余向量线性表示) 其中至少有一个向量是其余向量的线性组合 定理3.部分相关 整体相关；整体无关 部分无关 定理4. 短无关 长无关；长相关 短相关. 定理6. 1 2 , , , s 线性无关， , , , , 1 2 s 线性相关 可由 唯一线性表示. , , , 1 2 s 定理1. n个n维向量线性相关(线性无关) (不为0) 定理2.向量个数>向量维数， 其排成的行列式值为0 向量组线性相关. 定理7. 向量组(I)可由(II) ， (II)可由(Ⅲ)线性表示 向量组(I)可由(Ⅲ)线性表示