复习 矩阵的初等行、列变换；矩阵等价；初等矩阵 定理1Aa写mx动翼菱受D 有限次 E (A≌标准形D) 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵 定理2对A作初等行（列变换，相当于用相应的初等 矩阵左右)乘 推论对任一矩阵A,存在可逆阵P,Q,使p4Q E A2B→3可逆阵P,Q,使PAQ=B. 定理3阶可逆矩阵4A的等价标准形D=E, 定理4A可逆→A可表示为一些初等矩阵的乘积
复 习 矩阵的初等行、列变换；矩阵等价；初等矩阵 定理1 E O r D O O = 有限次 初等变换 A=(aij)m×n (A≌标准形D) 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵 定理2 对A作初等行(列)变换,相当于用相应的初等 矩阵左(右)乘A. 推论 对任一矩阵A,存在可逆阵P,Q,使PAQ= E O r O O d A≌B 可逆阵P,Q,使PAQ＝B. 定理3 n阶可逆矩阵A的等价标准形D=En 定理4 A可逆A可表示为一些初等矩阵的乘积
A1=PP2.PA E=PP2PkA① 若用一系列初等行变换将A化为单位矩 A=PPPE 阵E,则对E施以同样的行变换即得A1 列 E (A E) 变换 E A E=PP2PA若用一系列初等行变换将4化为单位矩 AB=P P2PB 阵E,则对B施以同样的行变换即得AB 要EAn 列 (A B) BA-1
(A E ) (E A -1 ) 行 变换 A E 列 变换 E A-1 (A B) (E A-1B) 行 变换 A B 列 变换 E BA -1 若用一系列初等行变换将A化为单位矩 阵E, 则对E施以同样的行变换即得A -1 A -1=P1P2 .PkE E = P1P2 .PkA 若用一系列初等行变换将A化为单位矩 阵E, 则对B施以同样的行变换即得A -1 A -1B=P B 1P2 .PkB E = P1P2 .PkA A -1＝P1P2 .Pk
2.6矩阵的秩 、 矩阵秩的定义 (≤min(m,n) 1.k阶子式：任选Amx的k行k列所得k阶行列式 例 1230 130 有二阶 2 三阶 A 2 02 1 =0 子式 子式 2460 260 2.矩阵的秩 ()定义若矩阵A中至少有一个阶子式不为零， 而有的大阶子式貲为琴，则称为矩阵A的秩， 记为r(A)= ：所有高子r十1阶的子式必苟零刻 即：矩阵A的秩等于A中不为零的子式的最高阶数 上例：(A)三2 第二章矩阵
第二章 矩阵 3 任选Am×n的k行k列所得k阶行列式 (k≤min(m,n)) A = 1 2 3 0 0 1 2 1 2 4 6 0 例 有二阶 子式 = 2 0 2 1 1 三阶 子式 = 1 3 0 0 2 1 0 260 若矩阵A中至少有一个r阶子式不为零, 而所有的r＋1阶子式皆为零, 则称r为矩阵A的秩, 记为r(A)＝r. 即：矩阵A的秩等于A中不为零的子式的最高阶数. 2.6 矩阵的秩 一、矩阵秩的定义 1. k阶子式: 2.矩阵的秩 (1)定义 所有高于r＋1阶的子式必为零! 上例：r(A)＝2
(2)性质： ①0≤r(4mxn≤min{m 规定：r(O)=0 r(A)=m,称A为行满秩矩阵； 统称为满秩矩阵 r(A=n,称A为列满秩矩阵 ②A=(A四，(kA)=r(A)k0) ③A存在阶子式不为0→(A≥r A的所有+1阶子式都为0→rA≤ ④Anxn可逆→r()=n 二、用初等变换求矩阵的秩 用定义，繁」 定理矩阵经过初等变换，其秩不变.（证明：P66)
① 0≤r(Am×n )≤min{m, n} ② r(A)= r(AT )， r(kA)= r(A) (k≠0) (2)性质： ③ A存在r阶子式不为0 r(A)≥r A的所有r+1阶子式都为0 r(A)≤r ④ An×n可逆 r(A)＝ n 二、用初等变换 定理 矩阵经过初等变换，其秩不变. r(A)=m, 称A为行满秩矩阵; 规定：r(O)＝0 r(A)=n, 称A为列满秩矩阵. 统称为满秩矩阵 求矩阵的秩 (证明:P66) ——用定义，繁!
1°A 行变换 列变预 等价标准形，则()=r 初等 10.00 0 ★2A 阶梯形，(0 行阶梯形矩阵 行变换 非零牛将行数 行阶梯形矩阵：重 而下各行中第。 个非零元 左边零的个数逐行增加，零行在蕞下尚 例： 0 0 0 0 简化行阶梯形矩阵：行阶梯形矩阵，非零行的第 个非零元均为1，其所在列的其它元素均为0
A 行 ⎯⎯⎯→ 变换 1 列变换 等价标准形，则r(A)＝ 2 A⎯⎯→ 初等 行变换 行阶梯形,则r(A)= 行阶梯形矩阵 非零行的行数 r 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r行 行阶梯形矩阵：自上而下各行中，第一个非零元 左边零的个数逐行增加；零行在最下面. 例: − − − 2 1 1 2 0 1 0 1 0 0 4 5 0 0 0 0 − − − − − 1 2 3 4 4 0 0 1 1 3 0 0 0 4 1 0 0 0 0 0 简化行阶梯形矩阵：行阶梯形矩阵，非零行的第 一个非零元均为1，其所在列的其它元素均为0. 1 1 0 0 0