导航 课堂·重难突破 探究一综合法 【例1】设≥1≥1，求证x中号≤是++g
导航 课堂·重难突破 探究一综合法 【 例 1】 设 x≥1,y≥1 ,求证:x+y+ 𝟏 𝒙𝒚 ≤ 𝟏 𝒙 + 𝟏 𝒚 +xy
证明：因为x≥1y≥1，所以y≥1. 导航 所以.号≤是+g台geH1≤tr+归 将上面不等式中的右端减左端，得 [y+x+(y)2]-[yx+y)+1] =cy)2-1]-yx+y)-(x+y川 =(y+1)y-1)-(c+y)灯y-1) =(y-1)y-x-y+1) =(y-10)c-1)0y-1). 因为x≥1y≥1，y≥1，所以y-1)x-1)0y-1)≥0， 从而所要证明的不等式成立
证明 导航 :因为x≥1,y≥1,所以xy≥1. 所 以 x+y+ 𝟏 𝒙𝒚 ≤ 𝟏 𝒙 + 𝟏 𝒚 +xy⇔xy(x+y)+1≤y+x+(xy) 2 . 将上面不等式中的右端减左端,得 [y+x+(xy) 2 ]-[xy(x+y)+1] =[(xy) 2 -1]-[xy(x+y)-(x+y)] =(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1) =(xy-1)(xy-x-y+1) =(xy-1)(x-1)(y-1). 因为x≥1,y≥1,xy≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0, 从而所要证明的不等式成立