(6) 对满足0≤≤∫的每一个简单可测函数8成立.因此 ≥fda 此定理从(1),(2),(7)得出 1.27定理如果对n=1,2,3,…,fX→[0,∞]是可测的, 且 f(x)=∑fn()(x∈X) 则 (2) fdH=∑|fnn 证明首先,象在定理1.17一样,存在简单可测函数序列 8},(s"},使得s!→f1,8"→f2,若8;=8+s",则8;→f1十f,单 调收敛定理连同命题1.25一起指出 (3) (fr+ f2)du= fdu+l fadu 其次,令9x=f1+…+f,序列{9x}单调地收敛于f,若我们 应用归纳法于(3),看出 gNdu = fnd 再一次应用单调收敛定理,得到(2).这就完成了证明 若设H是可数集上的计数测度,定理1.27是一个关于非负实 数的二重级数的结论(它当然能用初等方法证明) 系如果a≥0对和j=12,3…成立,则
∑∑a,;=∑∑a; 用/A 1.28 Fatou引理如果对每一个正整数n,fn:x→[0,~] 是可测的,则 ∫amin)dsd (1)中严格不等式是能出现的,见习题8 证明令 (2) 9(x)=inff;(x)(=1,2,3,…;x∈x) 则g≤f,所以 (3) g4d≤f(k=1,2,3,…) x 同时,0≤91≤92≤…,根据定理1.14,每一个9k是可测的,且由定 义1.13,当k→>∞时,9(x)→ lim inf∫,(x).所以单调收敛定理指 出,当k→∞时,(3)的左边趋于(1)的左边.因此从(3)得到(I)。 1.29定理假定∫:X→[0,∞是可测的,且 P(E) fd, (E∈) 则q是亚上的一个测度,且 gdp= gfdl 对其值域在[0,∞]内的X上的每一个可测函数g成立 证明设E1E2,E3,…是趼的不相交的元,他们的并是E 考察 (3) xrf=∑xg: 和 27
P(E)=x efd u;p(E =xu fdu 于是从定理1.27得到 (5) (E)=∑甲(E 因为q()=0,(5)证明了g是一个测度. 其次,(1)指出对E∈亚,当9=xg时(2)总是成立的.因此(2) 对每一个简单函数g成立,而一般情况则从单调收敛定理可以 得出 评注定理1.29的第二个断言有时写成 fdμ 的形式.我们不给符号和d以独立意义,(6)仅仅意味着(2) 对每一个可测的g≥0成立 定理1.29有一个非常重要的逆定理,即 Radon- Nikodym定 理,将在第六章内证明 复函数的积分 象以前一样,在这节里是在任意可测空间X上的正测度 l.30定义我们定义D()是所有使得 l∫ldμ<∞ 的、X上的复可测函数∫的集族 注意,象在命题1.9(b)所见到的一样,f的可测性蕴涵着|∫ 的可测性.因此上面的积分是确定了的 (p)的元素称为(关于H的) Lebesgue可积函数或称为可求 和函数.指数1的含义将在第三章闸明 .31定义若∫=暂+1v,这里v和是X上实可测函数
若f∈D(μ),对每…个可测集E定义 du=utdu-2dutilutdu-il v du 象在115节内定义的一样,这里t和x是t的正部和负部 0+和D从U类似地得到,这四个函数都是实的、可测的和非负 的.因此,根据定义1.23,(1)右边的四个积分存在.而且有v≤ a|≤|f|等等,所以这四个积分的每一个都是有限的.于是(1)定 义了左边的积分为一个复数 有时候,定义一个值域在[一∞,∞]中的可测函数∫的积分为 (2) f*du- fdu 也是合情合理的.如果(2)的右边的积分至少有一个是有限的,这 时(2)的边则是在[一∞,∞]内的一个数 L.32定理假定f和9E(,且a和B是复数,则可+ βg∈D().且 ∈L( (1) (af+Bg)du=a fdu+p gd u 证明αf十B9的可测性从命题1.9(c)得出.根据1.24节和 定理1.27,有 l af+Aldus(laiF+1Bllgl)du ai|f|dx+Bgd<∞ 于是Gf+9∈L(μ) 为证明(1),显然只要证明 (2) (f+odu= fdu+ gdp (3) (af)d{=g」fd
就够了.并且若(2)对M(4)内实的∫和g成立,(2)的一般场合 也即得出. 承认这一点之后,令磊=f+g,就有 h+一=f+-f-9 或 (4) b++f-+g=∫++g++b 根据定理1.27,有 (5) ∫…*+f+jp-f+y+p 因为这些积分的每一个是有限的,通过移项就可以得到(2) 当&≥0时,从命题1.24(c)可得到(3).利用关系式(-2) =v,容易验证当a=-1时,(3)也成立,对a=的情况也是容 易证明的:若f=x+i,则 (if)=f-)=|(-)+计=-1+ix=1(|v+i 这些情况同(2)合在一起,我们得到对任意复数a,(3)成立 1.33定理若fL(μ),则 fdn≤fldu 证明令z=.fd,因为z是一个复数,存在一个复数a a=1,使得=|z.设器是a函实部.则≤af}=|f,因 此 ∫,|=a「,fan=Jan=J,w≤,fd 因为前面已指出fd是实数,故上面等式的第三个等号成立