2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 基础班微积分第1章 预备知识函数概念数列极限 1.1预备知识 1.1.1实数集的性质 实数连续性的描述:确界公理 任何有界实数集合,必有最小上界和最小下界;但不一定有最大数或最小数 1.1.2绝对值 y=x是一种函数表达形式,对任意实数x有 x=0,或记为y=|x 0 x x≥0 x>0 对任意实数x与a≥0有:xsa asx≤a,并且,若a=0 则必有x=0。而x≥asx≥a或≤- 1.1.3基本不等式 (1)绝对值不等式:x,y∈R有-≤x≤0≤x+x≤2且 y2≤(x+少或√x2+y2s+py (2)三角不等式:x,y∈R,有x+ysx+川且|x≥|x-例 (3)平均值不等式:x,y∈R,有(x2+y2)≥x 若x≥0,y≥0,则有(x+y)≥√x 例如x,y∈R,可证明:√x2+y2≤+≤√2x2+y2) x +y=vx2+y2+2xy < v2(x2+y2) x+1 y2) (4)对任意实数x∈|0,)有 sinx<x s tan x (其他不等式:1)a>b>1→bb 数:3)对n>m即k>0有"<"不q-13)a≥-1=(+a)>1+na,m为正整 nn+k 刘坤林编水木艾迪考研培训网 网:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 基础班微积分第 1 章 预备知识 函数概念 数列极限 1.1 预备知识 1.1.1 实数集的性质 实数连续性的描述: 确界公理 任何有界实数集合，必有最小上界和最小下界；但不一定有最大数或最小数。 1.1.2 绝对值 y = x 是一种函数表达形式，对任意实数 x 有 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = − < = = 0 0 0 0 x x x x x y x ，或记为 ⎩ ⎨ ⎧ ≥ − < = = 0 0 x x x x y x 对任意实数 x 与a ≥ 0 有： x ≤ a ⇔ − a ≤ x ≤ a ，并且，若a = 0 ， 则必有 x = 0 。而 x ≥ a ⇔ x ≥ a 或x ≤ −a 。 1.1.3 基本不等式 （1）绝对值不等式：∀x, y ∈ R 有 − x ≤ x ≤ x , 0 ≤ x + x ≤ 2 x 且 2 2 2 x + y ≤ ( x + y ) 或 x + y ≤ x + y 2 2 （2）三角不等式： ∀x, y ∈ R ，有 x + y ≤ x + y 且 x − y ≥ x − y 。 （3）平均值不等式： ∀x, y ∈ R ，有 (x + y ) ≥ xy 2 1 2 2 若 x ≥ 0, y ≥ 0 ，则有 ( x + y) ≥ xy 2 1 例如∀x, y ∈ R ，可证明： 2( ) 2 2 2 2 x + y ≤ x + y ≤ x + y 。 2 2( ) 2 2 2 2 x + y = x + y + xy ≤ x + y 2( ) 2 2 2 2 x + y ≤ x + y ≤ x + y （4）对任意实数 [ , ) 2 0 π x ∈ 有 sin x ≤ x ≤ tan x (5) 其他不等式: 1) 1 1 1 − − > > ⇒ > a b a b a b ; 2) a ( a) n a n n ≥ −1⇒ 1+ > 1+ , 为正整 数；3）对n > m 即k > 0 有 n k m k n m + + < 。 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址：1 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 对以上不等式在应用中都应广义化,例如 vx,y∈R,有i(x+y)-cosx-y)sin(x+y)+os(x-y) 因为sin(x+y)与cos(x-y)均为实数,由不等式(4)即有本题不等式 又如x,y∈R可证明:√x2+y2≤s+计≤y2(x2 因为 x2+y2+2y≤√2(x2+y2),所以得到 ≤ 1.1.4邻域与区间 定义L.1邻域数轴上的点x的8邻域是指点集N(x0,6)={x|x-x<6,>0}。 邻域内的点是由不等式x-8<x<x0+δ界定的,包括x0点 去心邻域数轴上的点x的8去心邻域是指点集Nx6)={x0<x-x<88>0 去心邻域与邻域的区别仅在于不包括x点 区间:开区间(a,6)={<x<bx∈时}闭区间a,b={xa≤x≤b,x∈R 无穷区间常见形式有 (a+)={x>a,x∈R}与a+∞)={k≥ax∈R} (-0+∞)={x∈R},与(a,b)={x<b,x∈时},(a+o={xsb,x∈r} 1.2函数 函数关系与函数的初等性质对学习数学是重要的基础。函数关系表达了变量之间某种特 定的依赖关系,有时可以看作变量之间的对应关系 定义1.2对实数集X中的任意x,按某一确定的规则,若有唯一确定的实数值y与之对 应,则称y是x的函数,记为y=∫(x) 这里,重要的是函数关系∫(),而记号x(自变量)与y(因变量)是人为取定的。实 数集X应视为使函数关系∫()有意义的全体实数构成的集合,称为∫()的定义域;而对 切由∫()确定的全体实数构成的集合Y,则称之为∫()的值域。函数关系∫()有时也记 为∫:X→Y,XgR,或∫:X→R,XcR 在微积分这门课程里,对一个函数的表达,除了用代数表达式及图表以外,还会有许多 重要的表达方式,比如,一个函数关系可以由方程(隐函数)、(含参数)极限、微分方程 刘坤林编水木艾迪考研培训网 网:www.tsinghuatutorcom电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 对以上不等式在应用中都应广义化，例如 ∀x, y ∈ R ，有 sin(x + y) − cos(x − y) ≤ sin(x + y) + cos(x − y) 。 因为sin(x + y)与cos(x - y) 均为实数，由不等式（4）即有本题不等式。 又如∀x, y ∈ R 可证明： 2( ) 2 2 2 2 x + y ≤ x + y ≤ x + y 。 因为 2 2( ) 2 2 2 2 x + y = x + y + xy ≤ x + y ，所以得到 2( ) 2 2 2 2 x + y ≤ x + y ≤ x + y 1.1.4 邻域与区间 定义 1. 1 邻域 数轴上的点 x0 的δ 邻域是指点集 ( , ) { , 0} N x0 δ = x x − x0 < δ δ > 。 邻域内的点是由不等式 − δ < < + δ x0 x x0 界定的，包括 点。 x0 去心邻域 数轴上的点 x0 的δ 去心邻域是指点集 ( 0 , ) { 0 , } N x0 δ = x < x − x0 < δ δ > 。 去心邻域与邻域的区别仅在于不包括 点。 x0 区间:开区间(a, b) = { } x a < x < b, x ∈ R 。闭区间[a, b] = {x a ≤ x ≤ b, x ∈ R}。 无穷区间常见形式有 (a,+∞) = { } x x > a, x ∈ R 与 [a,+∞) = {x x ≥ a, x ∈ R}， (−∞,+∞) = { } x x∈ R ，与(−∞,b) = {x x < b, x ∈ R}，(a,+∞] = {x x ≤ b, x ∈ R}, 1．2 函数 函数关系与函数的初等性质对学习数学是重要的基础。函数关系表达了变量之间某种特 定的依赖关系，有时可以看作变量之间的对应关系。 定义 1.2 对实数集 X 中的任意 x ，按某一确定的规则，若有唯一确定的实数值 y 与之对 应，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f ( x) 。 这里，重要的是函数关系 f (⋅) ，而记号 x（自变量）与 y （因变量）是人为取定的。实 数集 X 应视为使函数关系 f (⋅) 有意义的全体实数构成的集合，称为 f (⋅) 的定义域；而对一 切由 f (⋅) 确定的全体实数构成的集合Y ，则称之为 f (⋅) 的值域。函数关系 有时也记 为 ，或 。 f (⋅) f : X → Y , X ⊆ R f : X → R, X ⊆ R 在微积分这门课程里，对一个函数的表达，除了用代数表达式及图表以外，还会有许多 重要的表达方式，比如，一个函数关系可以由方程（隐函数）、（含参数）极限、微分方程、 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址：2 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 积分、级数等手段来表达 1.2.1函数的初等性质 掌握函数的初等性质对微积分的学习至关重要。函数的初等性质包括以下几个方面 (1)增减性(单调性) 定义1.3设函数y=∫(x)定义域为X,若Ⅵx1,x2∈X,当x1<x2时有 ∫(x1)≤∫(x2),则称y=∫(x)在X上为增函数(非严格),而当x1<x2时有 f(x1)<∫(x2),则称y=∫(x)在X上为严格单调增函数。 类似可给出单凋减函数的定义 判断增减性的初等常用方法是减法,当函数在定义域上取得定号(取值不改变正负号) 时,也可用除法判断增减性。当然,用导数研究函数的增减性将是一类重要方法。 )奇偶性 定义1.4设函数y=∫(x)在对称的定义域内满足∫(-x)=∫(x),则称y=∫(x)为偶函 数。而当函数y=f(x)在对称的定义域内满足∫(-x)=-f(x)时,则称y=f(x)为奇函 数 广义奇偶性(偶对称与奇对称) 若y=f(x)的图形有对称轴x=a,则应有f(a-x)=∫(a+x)(将视为参数) 令g(x)=∫(a-x),则有g(-x)=∫(a+x)=f(a-x)=g(x),因此g(x)为偶函数 并且有∫(x)=f(2a-x)。 若y=f(x)的图形有对称中心(a,0),则应有f(a-x)=-f(a+x)(将视为参数), 令g(x)=∫(a-x),则有g(-x)=f(a+x)=-f(a-x)=-g(x) 因此g(x)为奇函数。并且有f(x)=-f(2a-x) 以上这种性质称为函数∫(x)的广义奇偶性或对称性 (3)周期性 定义1.5若存在一个正数T,使函数y=∫(x)在定义域内满足∫(X+T)=∫(x),则称 y=∫(x)为周期函数。这里的正数T对一个周期函数来说不是唯一的(事实上有无穷多) 般情况下,称其中最小正数称为周期 (4)有界性 定义1.6设函数y=∫(x)在X上有定义,若存在一个正数M使得对任意x∈X有 ∫(x)sM,则称函数y=f(x)在X上有界 刘坤林编水木艾迪考研培训网 网量:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 积分、级数等手段来表达。 1.2.1 函数的初等性质 掌握函数的初等性质对微积分的学习至关重要。函数的初等性质包括以下几个方面。 (1) 增减性（单调性） 定义 1.3 设函数 y = f ( x) 定义域为 X ，若∀x1 , x2 ∈ X ，当 1 2 x < x 时有 ( ) ( ) 1 2 f x ≤ f x ，则称 y = f ( x) 在 X 上为增函数（非严格），而当 1 2 x < x 时有 ( ) ( ) 1 2 f x < f x ，则称 y = f ( x) 在 X 上为严格单调增函数。 类似可给出单凋减函数的定义。 判断增减性的初等常用方法是减法，当函数在定义域上取得定号（取值不改变正负号） 时，也可用除法判断增减性。当然，用导数研究函数的增减性将是一类重要方法。 (2) 奇偶性 定义 1.4 设函数 y = f (x) 在对称的定义域内满足 f (− x) = f ( x) ，则称 为偶函 数。而当函数 在对称的定义域内满足 y = f (x) y = f ( x) f (−x) = − f (x) 时，则称 为奇函 数。 y = f ( x) 广义奇偶性（偶对称与奇对称） 若 y = f (x)的图形有对称轴 x = a ，则应有 f (a − x) = f (a + x) （将视为参数）， 令 g( x) = f (a − x) ，则有 g(−x) = f (a + x) = f (a − x) = g( x) ，因此 为偶函数。 并且有 。 g( x) f (x) = f (2a − x) 若 y = f (x)的图形有对称中心(a, 0) ，则应有 f (a − x) = − f (a + x) （将视为参数）， 令 g( x) = f (a − x) ，则有 g(−x) = f (a + x) = − f (a − x) = −g(x)， 因此 g( x) 为奇函数。并且有 f (x) = − f (2a − x) 。 以上这种性质称为函数 f ( x) 的广义奇偶性或对称性。 (3) 周期性 定义 1.5 若存在一个正数T ，使函数 y = f (x) 在定义域内满足 f ( x + T) = f ( x) ，则称 为周期函数。 这里的正数T 对一个周期函数来说不是唯一的（事实上有无穷多）， 一般情况下，称其中最小正数称为周期。 y = f ( x) (4) 有界性 定义 1.6 设函数 y = f ( x) 在 X 上有定义，若存在一个正数 M 使得对任意 x ∈ X 有 f (x) ≤ M ，则称函数 y = f (x) 在 X 上有界。 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址：3 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 对函数的有界性,后面还将给出其他情况下的一些描述。这类描述是重要的 1.2.2复合函数 函数的常见表达形式包括显函数表达式,隐函数表达式,以及参数表达式。其中核心 问题是复合函数的概念。复合函数实质上是一种链锁函数关系。 定义1.7设X,Y,UcR,复合函数关系是指 ∫:U→Y,即y=∫(u),g:X→U,即u=g(x) 这里称y=∫(g(x)为x的复合函数 般讲,=g(x)的值域为y=∫(u)定义域的一个非空子集,在特定情况下 l=g(x)的值域恰为y=∫(u)的定义域。 例1.1证明对任意实数x∈(0,),有sin(sinx)<sinx 2 【证】显然当x∈(0,。)时,有0<sinx<1<,由不等式(3),即有本题不等式 例1.2设1= n(sinx),12= acos(sin.)d,则(A) (A)l1<1<12。(B)1>1>12。(0)l1=l2。(D)1>l2>1 x2’snx<x,且sinx为增函数,于是 【解】当x∈(0, 1,=Esin(sinxyx<asin xdx= 又因为cosx为减函数,则有 l2=J2 cos(sin x>2cosx=1>1因此l<1<l,选(A) 注:许多考生在考试中的失误,大都属于基础知识的不扎实 1.2.3隐函数与反函数 定义18设方程F(x,y)=0在平面上某邻域N{x,y),8}内满足一定的正则条件(参 见多元函数的内容),则可以确定函数关系y=y(x),使得F(x,y(x))≡0,这时称 y=y(x)为在某邻域N{xnyn,8}内由F(x,y)=0确定的的隐函数 X-Y平面上点(xn,y)的δ邻域N{(xn,J),谷}系指平面点集 Nx,yn,}=x,y)∈2kx-x,)+(y-n)2<a,>0} 例如,园的方程x2+y2-1=0在圆周x2+y2=1上除去两点(-1,0)与(1,0)之外的 刘坤林编水木艾迪考研培训网 网址:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 对函数的有界性，后面还将给出其他情况下的一些描述。这类描述是重要的。 1.2.2 复合函数 函数的常见表达形式包括显函数表达式，隐函数表达式，以及参数表达式。其中核心 问题是复合函数的概念。复合函数实质上是一种链锁函数关系。 定义 1.7 设 X,Y ,U ⊂ R ，复合函数关系是指 f : U → Y ，即 y = f (u)， g : X → U ，即 u = g( x) 这里称 y = f (g( x)) 为 x 的复合函数。 一般讲， u = g( x) 的值域为 y = f (u) 定义域的一个非空子集，在特定情况下， u = g( x) 的值域恰为 y = f (u)的定义域。 例 1.1 证明对任意实数 ( , ) 2 0 π x ∈ ，有sin(sin x) < sin x 。 【证】显然当 ( , ) 2 0 π x ∈ 时，有 2 0 1 π < sin x < < ，由不等式（3），即有本题不等式。 例 1.2 设 I x dx ∫ π = 2 0 1 sin(sin ) ， I x dx ∫ π = 2 0 2 cos(sin ) ，则 ( A ). （A） I1 < 1 < I 2。（B） I1 > 1 > I 2 。（C） 1 2 I = I 。（D） 1. I1 > I 2 > 【解】 当 ) 2 (0, π x ∈ ，sin x < x，且sin x 为增函数，于是 I x dx ∫ = 2 0 1 sin(sin ) π sin 1 2 0 < = ∫ xdx π 。 又因为cos x为减函数，则有 I x dx ∫ = 2 0 2 cos(sin ) π 1 2 0 > cos xdx = 1 > I ∫ π 。因此 1 2 I < 1 < I ，选(A)。 注：许多考生在考试中的失误，大都属于基础知识的不扎实。 1.2.3 隐函数与反函数 定义 1.8 设方程 F(x, y) = 0 在平面上某邻域 N{(x0 , y0 ),δ }内满足一定的正则条件（参 见多元函数的内容），则可以确定函数关系 y = y( x) ，使得 ，这时称 为在某邻域 F(x, y( x)) ≡ 0 y = y( x) N{ } (x0 , y0 ),δ 内由 F(x, y) = 0 确定的的隐函数。 X −Y 平面上点(x0 , y0 ) 的δ 邻域 N{(x0 , y0 ),δ }系指平面点集： { } { 0} 2 2 0 2 0 2 N ( x0 , y0 ),δ = ( x, y)∈ R ( x − x ) + ( y − y ) < δ ,δ > 例如，园的方程 1 0在圆周 上除去两点 2 2 x + y − = 1 2 2 x + y = (−1,0)与(1,0) 之外的 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址：4 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 任意点的邻域内均可确定一个单值函数y=y(x),如在点(~-,)的某邻域内可以确定 22 √2 函数y=√1-x2,(x<1),而在点( )的某邻域内可以确定函数 <1)。 定义1.9设函数y=∫(x)定义域为X,值域为Y,若y∈Y存在一个函数g(y)使得有 唯一的点x∈X满足x=g(y),则称x=g(y)为y=∫(x)的反函数 注:(1)在某些场合,常把y=f(x)的反函数记为∫(x)或g(x),此时已重新把x视为 自变量。在反函数记号的使用中,一定要分清是否需要换变量记号 (2)互为反函数的两个函数曲线关于直线y=x对称。 (3)ν=∫(x)与其反函数g(x)的定义域与值域具有对偶性。即y=∫(x)的定义域必 为g(x)的值域,而y=f(x)的值域必为g(x)的定义域。 (4)f(x)与g(x)互为为反函数,且有∫(g(x))=x与g(f(x)=x 1.2.4参数表达的函数 定义1.9若对于参变量t∈T的每一个实数值都可由方程 x=x() t∈T ly=y(o 唯一确定点(x,y)与t∈T对应,则称该方程为实函数y=y(x)或x=x(y)的参数方程 参数方程确定的函数关系实质上一种隐函数关系,只是通过参变量t在变量x,y之间 建立了某种复合函数关系。即y=y(1(x),其中t=1(x)是x=x(1)的反函数。 例1.3建立函数y=x2的参数方程。 【解】求函数y=∫(x)的参数表达式,一般可视变量x为参数,此时便有非常简捷的结果 U=f(x)x∈X,其参数方程可取为」x=x x∈(∞,+o) 注:对参数方程,如果进一步满足1,2∈(,B)=T,11≠t2时,(x1,y1)≠(x2,y2) 则参数方程所确定的曲线不相交,此时称该曲线为简单曲线。显然,简单曲线可以是闭合的, 换言之,曲线的起点与终点相重合,简称为闭曲线 刘坤林编水木艾迪考研培训网 网垭:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 任意点的邻域内均可确定一个单值函数 y = y( x)，如在点( , ) 2 2 2 2 的某邻域内可以确定 函 数 1 , ( ) 2 y = − x x < 1 ，而在点 ( , ) 2 2 2 2 − 的某邻域内可 以确定函 数 1 , 1 ( ) 2 y = − − x x < 。 定义 1.9 设函数 y = f (x) 定义域为 X ，值域为Y ，若∀y ∈Y 存在一个函数 使得有 唯一的点 满足 ，则称 g( y) x ∈ X x = g( y) x = g( y) 为 y = f ( x) 的反函数。 注：（1）在某些场合，常把 的反函数记为 或 ，此时已重新把 视为 自变量。在反函数记号的使用中，一定要分清是否需要换变量记号。 y = f ( x) f (x) −1 g( x) x （2）互为反函数的两个函数曲线关于直线 y = x 对称。 （3） y = f ( x) 与其反函数 g( x) 的定义域与值域具有对偶性。即 y = f (x) 的定义域必 为 g( x) 的值域，而 y = f (x) 的值域必为 g( x) 的定义域。 （4） f (x) 与 g(x) 互为为反函数，且有 f (g(x)) = x 与 g( f (x)) = x 。 1.2.4 参数表达的函数 定义 1.9 若对于参变量 t ∈T 的每一个实数值都可由方程 t T y y t x x t ∈ ⎩ ⎨ ⎧ = = ( ) ( ) 唯一确定点(x, y)与 t ∈T 对应，则称该方程为实函数 y = y( x)或 x = x( y)的参数方程。 参数方程确定的函数关系实质上一种隐函数关系，只是通过参变量 t 在变量 x, y 之间 建立了某种复合函数关系。即 y = y(t(x)) ，其中t = t(x) 是 x = x(t) 的反函数。 例 1．3 建立函数 的参数方程。 2 y = x 【解】求函数 y = f ( x) 的参数表达式，一般可视变量 x 为参数，此时便有非常简捷的结果 x X ，其参数方程可取为 。 y f x x x ∈ ⎩ ⎨ ⎧ = = ( ) ∈(−∞,+∞) ⎩ ⎨ ⎧ = = x y x x x 2 注：对参数方程，如果进一步满足 1 2 1 2 t ,t ∈ ( , ) = T, t ≠ t , α β 时， ， 则参数方程所确定的曲线不相交，此时称该曲线为简单曲线。显然，简单曲线可以是闭合的， 换言之，曲线的起点与终点相重合，简称为闭曲线。 ( , ) ( , ) 1 1 2 2 x y ≠ x y 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址：5 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805