2008春季班 性代数第4章向量组的线性相关性 第4章向量组的线性相关性 4.1向量的线性组合与线性表示 由n个实数a1,a2,…,an组成的有序数组称 为n维向量,记作 2 其中a,称为向量a的第讠个分量.这个向量是 个列向量.行向量记作 1529,un 分量全为0的向量称为零向量 记作0=(0,0,…,0) 两个n维向量a=(a1,a2,…,an), B=(61,b2,…,bn),若它们的对应分量全相等, 即a1=b;,i=1,2,…,n则称向量a和相等, 记作a=B 设两个n维向量a=(a1,a2,…,an), B=(b1,h2,…,bn),定义
2008 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4—1 第 4 章 向量组的线性相关性 4．1 向量的线性组合与线性表示 由n个实数 组成的有序数组称 a a an , , , 1 2 " 为n维向量，记作 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n a a a # 2 1 α ， 其中ai称为向量α 的第i个分量．这个向量是一 个列向量．行向量记作 ( ) n T α = a1 ,a2 ,",a ． 分量全为０的向量称为零向量， 记作 ( ) ． T 0 = 0， 0， "， 0 两个n维向量 ( ) T a a an , , , α = 1 2 " ， ( T b b bn , , , β = 1 2 " ) ，若它们的对应分量全相等， 即ai = bi，i = 1, 2,", n则称向量α 和β 相等， 记作α = β ． 设两个n维向量 ( ) T a a an , , , α = 1 2 " ， ( )T b b bn , , , β = 1 2 " ，定义
2008春季班 性代数第4章向量组的线性相关性 4-2 a+B=(an1+b1,a2+b2,…,an+b,), 称为向量a与B的和 设 1:l 1 称-a=(-a1,-a2,…,-an)为向量a的负向量 于是定义向量的减法 a-B=a+(-B) 设a=(a1,a2,…,an),k是实数,定义 ka=(ka1,ka2,…,kan), 称为数k与向量a的数量乘法,简称数乘. 对任意n维向量a,B,y及任意实数k,l 向量的加法及数量乘法满足以下8个性质: (1)a+B=B+a; (2)(a+)+y=a+(B+y) (3)a+0=a; (4)a+(-a)=0; (5)1·c=a (6)k(la)=(k)a; (7)k(a+B)=ka+kB (8)(k +Da= ka+la
2008 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4—2 ( )T + = a + b a + b an + bn , , , α β 1 1 2 2 " ， 称为向量α 与β 的和． 设 ( ) T a a an , , , α = 1 2 " ， 称 ( ) 为向量 T − = − a −a −an , , , α 1 2 " α 的负向量． 于是定义向量的减法： α − β = α +（− β）． 设 ( ) T a a an , , , α = 1 2 " ，k是实数，定义 ( )T k ka ka kan , , , α = 1 2 " ， 称为数k与向量α 的数量乘法，简称数乘． 对任意n维向量α，β，γ 及任意实数k,l ， 向量的加法及数量乘法满足以下８个性质： （１）α + β = β + α ； （２）( ) α + β + γ = α + (β + γ )； （３）α + 0 = α ； （４）α +（−α）= 0； （５）1⋅α = α ； （６）k(lα) = (kl)α ； （７）k(α + β ) = kα + kβ ； （８）(k + l)α = kα + lα ．
2008春季班 性代数第4章向量组的线性相关性 4-3 设a1,C2,…,C是n维向量, 152 k是数,则 k1c1+k2O2+…+k 称为向量a1,a2,…,a,的一个线性组合 若B=k1a1+k2a2+…+k,a3,称B 可由a1,2,…,C线性表示或线性表出 例1设a1=(1,2,3),a2=(0,1,4) ax3=(2,3,6),B=(-1,,5),试用 a1,C2,a3线性表示B 例2设ax1=(1,4,0,2), B=(3,10,a,4)y.a取何值时,B可由 C1,a2,C3线性表示?写出表示式 向量组的线性相关与线性无关 设a1,a2,…,a是n维向量,若存在不全为 零的数k1,k2,…,k,使得 k a+k 2c2 +…+kC=0 成立,则称向量组a1,a2,…,a,线性相关.否则
2008 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4—3 设α α α s , , , 1 2 " 是n维向量， k k ks , , , 1 2 " 是数，则 k1α 1 + k2α 2 + "+ ksα s 称为向量α α α s , , , 1 2 " 的一个线性组合． 若β = k1α 1 + k2α 2 + "+ ksα s，称β 可由α α α s , , , 1 2 " 线性表示或线性表出． 例1 设 ( ) ， T α1 = 1, 2, 3 ( ) T α 2 = 0, 1, 4 ， ( )T α 3 = 2, 3, 6 ， ( ) T β = − 1, 1, 5 ，试用 1 2 3 α ,α ,α 线性表示β ． 例２ 设 ( ) ， T α1 = 1, 4, 0, 2 ( )T α 2 = 2, 7, 1, 3 ， ( )T α 3 = 0, 1, − 1, 2 ， ( T β = 3, 10, a, 4) ．a取何值时，β 可由 1 2 3 α ,α ,α 线性表示？写出表示式． ４． 2 向量组的线性相关与线性无关 设α α α s , , , 1 2 " 是n维向量，若存在不全为 零的数 ，使得 k k ks , , , 1 2 " k1α 1 + k2α 2 + "+ ksα s = 0 成立，则称向量组α α α s , , , 1 2 " 线性相关．否则
2008春季班 性代数第4章向量组的线性相关性 称为线性无关 只有一个向量的向量组{ax},如果a=0,则 向量组是线性相关的;如果C≠0,则向量组是 线性无关的 一个不少于2个向量的向量组若线性相关, 则必定有一个向量可以由这个向量组中的其余 向量线性表示.反之,若一个向量组中,有一个 向量可以由其余向量线性表示,那么这个向量组 是线性相关的 这个命题的等价命题就是:向量组线性无关 的充分必要条件是向量组中任意向量都不能由 其余向量线性表示 按定义,向量组a1,a2,…,a,线性无关当且 仅当向量方程 k1a1+k2a2+…+kas=0 只有零解 将向量a1,C2,…,a按列排成一个矩阵, 记作A,即A=(a1,a2,…,a,),则向量组 a1,C2,…,a,线性相关的充分必要条件是齐次 线性方程组 有非零解
2008 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4—4 称为线性无关． 只有一个向量的向量组{α}，如果α = 0，则 向量组是线性相关的；如果α ≠ 0，则向量组是 线性无关的． 一个不少于２个向量的向量组若线性相关， 则必定有一个向量可以由这个向量组中的其余 向量线性表示．反之，若一个向量组中，有一个 向量可以由其余向量线性表示，那么这个向量组 是线性相关的． 这个命题的等价命题就是：向量组线性无关 的充分必要条件是向量组中任意向量都不能由 其余向量线性表示． 按定义，向量组α α α s , , , 1 2 " 线性无关当且 仅当向量方程 k1α 1 + k2α 2 + "+ ksα s = 0 只有零解． 将向量α α α s , , , 1 2 " 按列排成一个矩阵， 记作 A，即 A＝（α α α s , , , 1 2 " ），则向量组 α α α s , , , 1 2 " 线性相关的充分必要条件是齐次 线性方程组 Ax = 0 有非零解．
2008春季班 性代数第4章向量组的线性相关性 向量个数大于向量维数时向量组线性相关, 任何n+1个n维向量线性相关 n个n维向量a1,a2,…,an线性相关的充分 必要条件是由向量排成的行列式等于0.即 12,…‘,0n 向量组的线性相关性的定理很多,其中最重 要的是这几个: (1)若c1,a2,…,C,线性无关,而 a1,a2,…,a,线性相关,则可由 a1,C2,…,a线性表出,且表示法惟 (2)若a1,a2,…,C可由B1,B2,…,B线性 表出,且S>t,则a1,a2,…,C线性相关 (3)若a1,a2,…,C线性无关且可由 B1,B2,…,B线性表出,则s≤t 以下这些性质也是很有用的: (1)包含零向量的向量组必线性相关 (2)一个向量组中如果有部分向量线性相关, 则整个向量组线性相关 (3)一个线性无关的向量组其中任何部分向 量组都线性无关 (4)一个线性相关的向量组,如果每一个向 量都删去同一序号的分量,得到一个维数较低的
2008 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4—5 向量个数大于向量维数时向量组线性相关， 任何n + 1个n维向量线性相关． n个n维向量α α α n , , , 1 2 " 线性相关的充分 必要条件是由向量排成的行列式等于０．即 α α α n , , , 1 2 " ＝０． 向量组的线性相关性的定理很多，其中最重 要的是这几个： （１）若α α α s , , , 1 2 " 线性无关，而 α1 ,α 2 ,",α s ,β 线性相关, 则β 可由 α α α s , , , 1 2 " 线性表出，且表示法惟一． （２）若α α α s , , , 1 2 " 可由β β β t , , , 1 2 " 线性 表出，且s > t ，则α α α s , , , 1 2 " 线性相关． （３）若α α α s , , , 1 2 " 线性无关且可由 β β β t , , , 1 2 " 线性表出，则s ≤ t ． 以下这些性质也是很有用的： （１） 包含零向量的向量组必线性相关． （２） 一个向量组中如果有部分向量线性相关， 则整个向量组线性相关． （３） 一个线性无关的向量组其中任何部分向 量组都线性无关． （４） 一个线性相关的向量组，如果每一个向 量都删去同一序号的分量，得到一个维数较低的