最优化问题数学基础 为了便于学习最优化方法,本章将对与 优化方法密切有关的数学知识作一简要介绍 而有些数学知识将在讲解各种算法时,随之
最优化问题数学基础 为了便于学习最优化方法，本章将对与 优化方法密切有关的数学知识作一简要介绍 而有些数学知识将在讲解各种算法时，随之 介绍．
§1.1二次型与正定矩阵 次型与实对称矩阵 次型理论在最优化设计中应用十分 泛.应用矩阵的乘法运算,二次型与实 对称矩阵紧密地联系在一起了,从而二次 型的基本问题又可转化成实对称矩阵问 题 二次型理论问题起源于化二次 曲线和二次曲面的方程为标准形式的问 题.推广到n维空间中,二次超曲面的一般 方程为
§1.1 二次型与正定矩阵 一、二次型与实对称矩阵 二次型理论在最优化设计中应用十分 广泛．应用矩阵的乘法运算，二次型与实 对称矩阵紧密地联系在一起了，从而二次 型的基本问题又可转化成实对称矩阵问 题． 二次型理论问题起源于化二次 曲线和二次曲面的方程为标准形式的问 题．推广到n维空间中，二次超曲面的一般 方程为
f(x1,x2,…,xn)=a1x1+a12x1x2+…+a12x1xn x1+a2x2+…+a2nx2xn+ axx+ tax ∑∑ax D
•• ， ， ， ， = = =+ + + + + + + = + + + + ni nj i j i j n n n n n n n n n n n n a x x a x x a x x a x a x x a x a x x f x x x a x a x x a x x 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 ( )
用矩阵表示为 f(x,x…x)=∑4x,=x…x1 X AX 其中,矩阵A的元素。=(正是二次型的 项的系数的一半,是二次型的项 的系数.因此,二次型和它的矩阵A是相互 唯一决定的,且A4
用矩阵表示为 其中，矩阵A的元素 正是二次型的 项的系数的一半， 是二次型的 项 的系数．因此，二次型和它的矩阵A是相互 唯一决定的，且 ． ， ， ， ， ， ， ， X AX x x x f x x x a x x x x x A T n i n j n n i j i j n = = = =1 =1 2 1 1 2 1 2 ( ) [ ] a a (i j) ij = ji i j x x ii a 2 i x T A = A
正定矩阵 定义2.1如果二次型 )=A 对于任何一组不全为零的数x恒有 f( x1,X2y……yX XAX>O 则称xx)正定,且二次型矩阵A也称为正 定 简言之,一个对称矩阵A如果是正定的,则二次型 X对于所有非零向量X其值总为 正.类似可以给出定义,若二次型xx)=XAX20 则A为半正定矩阵;若xAX≤0,则A为半负定矩 阵;若二次型既不是半正定又不是半负定,就称 矩阵A为不定的 D
• 二、正定矩阵 • 定义2.1 如果二次型 • • 对于任何一组不全为零的数 恒有 • 则称 正定，且二次型矩阵A也称为正 定． • 简言之，一个对称矩阵A如果是正定的，则二次型 • 对于所有非零向量X其值总为 正．类似可以给出定义，若二次型 • 则A为半正定矩阵；若 ，则A为半负定矩 阵；若二次型既不是半正定又不是半负定，就称 矩阵A为不定的． = = = = n i n j T f x x xn ai j xi x j X AX 1 1 1 2 ( ， ，， ) n x，x ，，x 1 2 f (x1 x2 x ) = X AX 0 T ， ，，n ( ) 1 2 n f x ，x ，，x ( ) 1 2 n f x ，x ，，x X AX T = ( ) 0 1 2 f x x x = X AX T ， ，，n X AX 0 T