我们用另-个重要的收敛定理结束这一节 1.34 Lebesgue控制收敛定理假定fn}是一个X上的复 可测函数序列,使得 f(=limf, (a) R→e 对每一个xX存在,若存在一个函数g∈L()使得 (2) Ja(x)i≤9(x)(n=1,2,3,…;∈X) 则f∈L(), (3) fn-∫减μ=0 ◆。]x 并且 li d fdμ 证明因为∫≤9且∫是可测的,故f∈L(),因为fn-f ≤29,把 Fatou引理应用于函数29-fn·f得到 2gdus liminf(2g-If fI)du gdu +liminf (-J,1-fn) = 2gdy- limsup If,∫!dk 因为|2d4是有限的,从两边减去它便得 (5) lim sup.|f,-fidH≤0 若一个非负的实数序列不收敛于0,则它的上极限是正的,于 是(5)蕴涵着(3).把定理1.33应用于ff,(3)便蕴涵着(4) 零测集所起的作用 l.35定义设P是对于点x可以具有或者不具有的一种性
质.譬如,若∫是一个给定的函数,P可以是性质“f(a)>0”,若 6f}是给定的函数序列,P可以是性质“{fn(x)}收敛” 如果4是一个σ-代数上的测度E∈,“P在E上几乎处 处成立”(简记为“P.a.e.于E)这句话意味着:存在一个N∈,使 得(N)=0,NcE并且P在E一N的每一点上成立.当然“几乎 处处”这个概念非常强烈地依赖于所给定的测度.当明确要求指 出测度的时候,我们将记作“a,e.[] 例如,如果∫和g是可测函数,并且当 (1) ({x:f(x)与g(x))=0 时,我们说∫=ga.e.[]于x上,并记为f~g.容易看出这是一个 等价关系,传递性(f~g和g~h蕴涵着∫~h)是“两个零测集的 并是一个零测集”这一事实的推论 注意,若f~g,则对毎一个B∈ (2) f d i 为了看出这点,设N是满足(1)式的集;则E是E一N和E∩N这 两个不相交的集的并,在E一N上f=9,而H(E∩N)=0 于是,一般地说,零测集在积分中是可以忽略的.“可忽路集 的毎一个子集是可忽略的”这个结论应当是正确的.但是可能遇 到一些集N∈,4(N)=0,而它有子集E不是亚的元素.当然 在这种情况下,可以定义(E)=0,但是的这种扩充还能是一个 测度吗?即,它还是定义在一个σ-代数上吗?所幸的是,回答是 肯定的, 1.36定理设(x,,n)是一个测度空间,亚*是所有这样 的EcX的集族,对于E存在A和B∈,使得 ACECE,p(B A)=0,在这种情况下,定义u(E)=A(A),则业*是一个-代数, 且4是界*上的一个测度
因为零测集的彦有子集现在都是可测的,这个扩张了的测度 t称为完备测度,-代数羽*称为趼的μ完备化.这个定理说每 个测度都能完备化,所以为了方便起见,总可以假定任何给定 的测度是完备的;这恰好给出更多的可测集,因此,给出更多的可 测函数,通常讨论中所遇到的大多数测度都已经是完备化的,但 也有些例外;共中之一将在第七章的 Fubini定理的证明中遇到 证明验证σ-代数的三个规定性质.(i)X∈,因此X∈* (诅)若ACEB,则 BCECA°,且A-B=B→A,(i)若AC ECB;,A=∪A(,E=∪E,和B=∪B,则 ACECB.并且 B-ACU(B: -A 故当H(B,-A)=0,言=1,2,3,…成立时,4(B-A)=0 其次,我们来验证μ在*上是完全确定的,假定A∈BCB A1CECB;,且μ(B-A)=μ(B1-A1)=0,则 A-A CB,-A 所以(A一A1)=0,类似地p(41-4)=0,因此 (A)=(A1∩A)=(A1) 在卵*上的可数可加性是明显的 I.37就积分来说,ae.相等的函数可以不加区别,这个事实 启发我们,扩大可测网数的定义是有益的.如果(E)=0,并且 对每一个开集V,f(V)∩E是可测的,我们称定义在E趼上的 函数∫为任X上可测.若对∈E,定义f(x)=0,就得到在旧的 意义下的X的可测函数.假如测度是完备的,在E上依照完全任 意的方式定义∫,仍可得到一个可测函数.在任何上∫的积 分与B°上f的定义无关,所以f在E上的定义甚至完全不需要 指定 有许多自然会遇到的情况,譬如,在实直线上的一个函数f可 33
以仅仅是几乎处处可微前(关于 Lebesgue测度),但是在一定的条 件下,∫是它的导数积分仍然正确,这将在第八章内讨论.或者 X上的可测函数序列{fn}可以仅仅是几乎处处收敛;用可测性的 新定义,这个极限仍是X上的可测函数,我们没有必要非得把它 缩减到实际收敛的点集上不可 为了说明问题,我们叙述 Lebesgue控制收敛定理的一个推 论,其叙述方式容许一些测度为零的例外集 1.38定理假定{n}是一→个在X上几乎处处有定义的复可 测函数序列,满足 1) ∑!,,lx 则级数 (2) f(a)=>f,(=) 对几乎所有的c收敛,f∈L(),并且 (3 ∑」,f 7=1 证明设Sn是f有定义的点集,因此μ(SR)=0.对x∈8= ∩S,令q(x)=Σ|f(x).则μ(S)=0.根据(1)和定理1.27 pdu<o 若E={∈8:p(x)<∞},从(4)得出(B)=0,对于每一个 x∈E,级数(2)绝对收敛.如果对xE,f(x)用(2)定义,则在E上 ∫(x)|≤g(x).所以根据(4),在E上fL().如果gn=f1+ +f,则|91≤,对所有的x∈E,9n(x)→>f(x),并且定理1.34 给出了用E代替X时的(3)式.因为4(E)=0,此结果等价于 34
(3). 注意,即使当手在X的每一点均有定义时,由(1)也只能得出 (2)几乎处处收敛,下面是另外一些情况,在这些情况中,我们只 能引出几乎处处成立的结论 L.39定理 (a)假设fXx[0,∞是可测的,E∈并且f4=0,则 MwANA气 0ae.于E上 (b)假设fZ(4)并且对每一个E∈,有风=0,则 ∫=0a.e.于E上 (c)假设托(μ)并且 fdu=Ifl, 则存在一个常数a,使得叫=∫a.e.于x上 注意,(e)叙述了这样的条件,在这个条件下,定理1.33内的 等号成立 证明 (a)如果An=3c∈E:f(x)>1}t=1,2,3,…,则 1(4)≤[fu≤「风=0 E 所以p(An)=0,因为{x∈E;f(x)>0}=UAn,便得出(a) (b)令∫="+l,设E={x:a(x)≥0},则fd的实部是 2d.囚此|a'du=0,(a)蕴涵着w=0ae.类似地得出 2-=0 (c)考察定理1.33的证明,我们现在的假定蕴涵着在定理 35