第一篇极限论 第一部分极限初论 第一章变量与函数 §1.函数的概念 1.解下列不等式,并画出x的范围: (1)-2<1 x+2 (2)(x-1)(x+2)(x-3)<0 (3)x-1 <a (4)0≤cosx≤2 {8 解: (1)x<-5x>-3 (2)1<x<3或x<-2 (3)当a>0时,x<1或x>1+ 当a<0时,1+<x<1 当a=0时,x<1
1 1òü 4Åÿ 1ò‹© 4Å–ÿ 1òŸ C˛ÜºÍ §1. ºÍVg 1. )eÿ ™ßøx—xâåµ (1) −2 < 1 x + 2 (2) (x − 1)(x + 2)(x − 3) < 0 (3) 1 x − 1 < a (4) 0 6 cos x 6 1 2 (5) x 2 − 16 < 0 x 2 − 2x > 0 )µ (1) x < − 5 2 ½x > − 3 2 ✘✛ ✲ -1-2-3 0 x ❜❜ (2) 1 < x < 3½x < −2 ✘ ✛ ✘✲ -1-2 31 2 0 x ❝ ❝❝ (3) a > 0ûßx < 1½x > 1 + 1 a ¶ ✘✛ ✲ 0 1 x 1 + 1 a ❝ ❝ a < 0ûß1 + 1 a < x < 1 ✛ ✘ ✲ 0 1 x 1 + 1 a ❝❝ a = 0ûßx < 1 ✘ ✲ 0 1 x ❝
(4)2kx+≤x≤2k丌+或2kx-≤x≤2kx-(k∈Z) (5)-4<x≤0或2≤x<4 下列绝对值不等式 (1)|r-y≥||-ll (2)|r1+x2+r3+…+xn|≤|x|+|x2|+…+|xnl (3)|r+x1+…+xn|≥|x|-(|x1|+…+|rnl) 证明 (1)因叫y≥xy,则(x-y)2≥(|x-y)2,于是|x-y≥|r-ll (2)用数学归纳法证明 )当n=2时,由r1+x2|≤|x1|+|x2,得结论成立 (i)假设当n=k时结论成立,即有x1+x2+x3+…+xk|≤|x1|+|x2l+…+|lrkl 则当n=k+1时,|x1+x2+x3+…+xk+1≤|x+x2+r3+……+xk|+|xk+1≤|x1|+|x21+ +|xk|+|xk+1 综上可知,对一切自然数n,|x1+x2+x3+…+xn|≤x1|+|r2|+…+|rn均成立 (3)|x+x1+…+xn|≥|x-|x1+x2+x3+…+xn|≥||-(x1+…+|an) 3.解下列绝对值不等式,并画出x的范围: (1)|>|x+1 (2)2<1 (3)|r>A (4)|x-a<n,n为常数,n>0 x+2 (1)x< (2)-2<x
2 (4) 2kπ + π 3 6 x 6 2kπ + π 2 ½2kπ − π 2 6 x 6 2kπ − π 3 (k ∈ Z) ✲ ✄ ✄ ✄ ✄ 0 x (5) −4 < x 6 0½2 6 x < 4 ✲ ☛ ✟ ☛ ✟ -4 2 4 0 x ❝ ❝ 2. y²e˝Èäÿ ™µ (1) |x − y| > ||x| − |y|| (2) |x1 + x2 + x3 + · · · + xn| 6 |x1| + |x2| + · · · + |xn| (3) |x + x1 + · · · + xn| > |x| − (|x1| + · · · + |xn|) y²µ (1) œ|x||y| > xyßK(x − y) 2 > (|x| − |y|) 2ßu¥|x − y| > ||x| − |y|| (2) ^ÍÆ8B{y². (i) n = 2ûßd|x1 + x2| 6 |x1| + |x2|ß(ÿ§·. (ii) bn = kû(ÿ§·ß=k|x1 + x2 + x3 + · · · + xk| 6 |x1| + |x2| + · · · + |xk|. Kn = k + 1ûß|x1 + x2 + x3 + · · · + xk+1| 6 |x1 + x2 + x3 + · · · + xk| + |xk+1| 6 |x1| + |x2| + · · · + |xk| + |xk+1| n˛åßÈòÉg,Ínß|x1 + x2 + x3 + · · · + xn| 6 |x1| + |x2| + · · · + |xn|˛§·. (3) |x + x1 + · · · + xn| > |x| − |x1 + x2 + x3 + · · · + xn| > |x| − (|x1| + · · · + |xn|) 3. )e˝Èäÿ ™ßøx—xâåµ (1) |x| > |x + 1| (2) 2 < 1 |x| < 4 (3) |x| > A (4) |x − a| < η, ηè~Íßη > 0 (5) x − 2 x + 1 > x − 2 x + 1 (6) 2 < 1 |x + 2| < 3 )µ (1) x < − 1 2 ✘ ✲ -1 0 x ❜ (2) − 1 2 < x < − 1 4 ½ 1 4 < x < 1 2 ✲ ☛ ✟ ☛ ✟ 0 1 x 2 - 1 2 ❡❡ ❡ ❡
(3)当A≥0时,x<-A或x>A 当A<0时,x∈R (4)a-n<a<a+n (5)原式等价于x-2∠0,则-1<x<2 <x< <x<一一 4.求下列函数的定义域及它在给定点上的函数值 (1)y=f(x)=-x+-的定义域及f(-1),f(1)和f(2) (2)y=/()=√a2的定义域及/(,J(和(-2) 1 (3)=8()=c的定义域及(1),(2 (4)y=g(a)=a2tana的定义域及g(0),g ()x=2()2=sm0+c的定义域及x(-2),x(-m) (6)y=f(x)= 的定义域及f(0),f(-1)
3 (3) A > 0ûßx < −A½x > A ✘ ✛✲ 0 A-A x ❡❡ A < 0ûßx ∈ R (4) a − η < x < a + η ✛a ✘ ✲ − η 0 a + ηa x ❡❡ (5) ™ du x − 2 x + 1 < 0ßK−1 < x < 2 ✛ ✘✲ -1 1 2 0 x ❜ ❜ (6) − 5 3 < x < − 3 2 ½− 5 2 < x < − 7 3 ✲ ✞ ☎ ✞ ☎ -1-2-3 0 x ❡❡ ❡❡ 4. ¶eºÍ½¬ç9ß3â½:˛ºÍäµ (1) y = f(x) = −x + 1 x ½¬ç9f(−1), f(1)⁄f(2)¶ (2) y = f(x) = √ a 2 − x2½¬ç9f(0), f(a)⁄f − a 2 ¶ (3) s = s(t) = 1 t e −t½¬ç9s(1), s(2)¶ (4) y = g(α) = α 2 tan Ὤç9g(0), g π 4 , g − π 4 ¶ (5) x = x(θ) = sin θ + cos 转ç9x − π 2 , x(−π) (6) y = f(x) = 1 (x − 1)(x + 2)½¬ç9f(0), f(−1)
(1)函数的定义域为X=(-∞,O)U(0,∞),f(-1)=0.f(1)=0,f(2)= (2)函数的定义域为x=-al,0)=la)=0(-2) (3)函数的定义域为(-∞,0)U0,∞x),(1)=1,(2)=2 (函数的定义域为{∈Bx≠k+三,k∈2,00=09(理) 426 )函数的定义域为X=(一×,∞)x(-2)=-1x(-m)=-1 ()函数的定义域为X=(-x,-2)U(-2.1)U.+∞),f0=-2,(-1)=-2 5.求下列函数的定义域及值域: (1)y=√2+x-x2 (2)y=Cost (3)y=In(sin (4)y=ainπr (1)函数的定义域为X=[-1,2,值域为/O3 (2)函数的定义域为2k丌-,2k丌+5(k∈Z),值域为,1 (3)函数的定义域为(11 2k+12k)(k∈Z,值域为(-∞ (4)函数的定义域为(n-1,n)(n=0,±1,±2,……),值域为(-∞,-1]U[1,+∞) 6.设f(x)=x+1,y(x)=x-2,试解方程f(x)+(x)=|f(x)+|p(x) 解:由已知,得∫(x)y(x)≥0即(x+1)(x-2)≥0,则x≥2或x≤-1 7.设f(x)=(|x+x)(1-x),求满足下列各式的x值: (1)f(0)=0 (2)f(x)<0 (1)要∫(x)=0,则x+x=0或1-x=0,即x≤0或x=1 (2)因+x≥0,则要f(x)<0,只要1-x<0即可,即x>1 8.图1-5表示电池组V、固定电阻R和可变电阻R组成的电路在一段不长的时间内,A,B两点间的电压V可以看 成一个常量求出电流Ⅰ和可变电阻R的函数式 解:由已知及物理学知识,得V=I(R0+R) 9.在一个圆柱形容器内倒进某种溶液,该圆柱形容器的底半径是a,高为h,倒进溶液的高度是x(图1-6).该 溶液的容积V和x之间的函数关系V=V(x),并写出它的定义域和值域 解:由已知,得V=a2x,它的定义域为[0,,值域为[1,ma2h 10.某灌溉渠的截面积是一个梯形,如图1-7,底宽2米,斜边的倾角为45°,CD表示水面,求截面ABCD的面 积S与水深h的函数关系 解:由已知及图,得S=h(h+2) 11.有一深为H的矿井,如用半径为R的卷扬机以每秒钟弧度的角速度从矿井内起吊重物,求重物底面与地面的 距离s和时间t的函数关系(图1-8) 已知及图,得s=H 1+x2,x<0 12.设y=()={x-1,x>0.求f(-2,f(-1)(0()和(2 由已如1得23=50)=210=-10-0()-
4 )µ (1) ºÍ½¬çèX = (−∞, 0) S (0,∞)ßf(−1) = 0, f(1) = 0, f(2) = − 3 2 (2) ºÍ½¬çèX = [−|a|, |a|]ßf(0) = |a|, f(a) = 0, f − a 2 = √ 3 2 |a| (3) ºÍ½¬çè(−∞, 0) S (0,∞)ßs(1) = 1 e , s(2) = 1 2e 2 (4) ºÍ½¬çè n x x ∈ R, x 6= kπ + π 2 , k ∈ Z o ßg(0) = 0, g π 4 = π 2 16 , g − π 4 = − π 2 16 (5) ºÍ½¬çèX = (−∞,∞)ßx − π 2 = −1, x(−π) = −1 (6) ºÍ½¬çèX = (−∞, −2) S (−2, 1) S (1, +∞)ßf(0) = − 1 2 , f(−1) = − 1 2 5. ¶eºÍ½¬ç9äçµ (1) y = √ 2 + x − x2 (2) y = √ cos x (3) y = ln sin π x (4) y = 1 sin πx )µ (1) ºÍ½¬çèX = [−1, 2]ßäçè 0, 3 2 (2) ºÍ½¬çè h 2kπ − π 2 , 2kπ + π 2 i (k ∈ Z)ßäçè[0, 1] (3) ºÍ½¬çè 1 2k + 1 , 1 2k (k ∈ Z)ßäçè(−∞, 0] (4) ºÍ½¬çè(n − 1, n)(n = 0, ±1, ±2, · · ·)ßäçè(−∞, −1] S [1, +∞) 6. f(x) = x + 1, ϕ(x) = x − 2ߣ)êß|f(x) + ϕ(x)| = |f(x) + |ϕ(x)| )µdÆßf(x)ϕ(x) > 0=(x + 1)(x − 2) > 0ßKx > 2½x 6 −1. 7. f(x) = (|x| + x)(1 − x)߶˜veà™xäµ (1) f(0) = 0 (2) f(x) < 0 )µ (1) áf(x) = 0ßK|x| + x = 0½1 − x = 0ß=x 6 0½x = 1 (2) œ|x| + x > 0ßKáf(x) < 0ßêá1 − x < 0=åß=x > 1 8. „1-5L´>³|V !½>{R0⁄åC>{R|§>¥.3ò„ÿûmSßA, B¸:m>ÿV å±w §òá~˛.¶—>6I⁄åC>{RºÍ™. )µdÆ9‘nÆ£ßV = I(R0 + R). 9. 3òá Œ/NÏS?,´MóßT Œ/NÏ.媥aßpèhß?Móp›¥x£„1-6§. T MóN»V ⁄xÉmºÍ'XV = V (x)ßø—ß½¬ç⁄äç. )µdÆßV = πa2xßß½¬çè[0, h]ßäçè[1, πa2h] 10. ,/Y± °»¥òáF/ßX„1-7ß.°2íß>ñè45oßCDL´Y°ß¶ °ABCD° »SÜY hºÍ'X. )µdÆ9„ßS = h(h + 2). 11. kò èH¶³ßX^åªèRÚűz¶®ωl›Ñ›l¶³SÂL‘߶‘.°Ü/° Âls⁄ûmtºÍ'X£„1-8§. )µdÆ9„ßs = H − ωRt t ∈ 0, H ωt 12. y = f(x) = 1 + x 2 , x < 0 x − 1, x > 0 ߶f(−2), f(−1), f(0), f(1)⁄f 1 2 . )µdÆßf(−2) = 5, f(−1) = 2, f(0) = −1, f(1) = 0, f 1 2 = − 1 2
0≤t<10 13.设()={1+t,10≤t≤20,求x(0,x(5),x(10),x(15),x(20),x(25,x(30,并画出这个函数的图形 t-10,20<t≤30 解:由已知,得x()=0,x(5)=0,x(10)=101,x(15)=226,x(20)=401,x(25)=15,x(30)=20 14.邮资y是信件重量x的函数按照邮局的规定,对于国内的外埠平信,按信件重量,每重20克应付邮资8分,不 足20克者以20克计算当信件的重量在60克以内时,试写出这个函数的表达式,并画出它的图 解:由已知,得y=f()={16,20<x≤40 24,40<x≤60 15.脉冲发生器产生一个三角波,其波形如图1-9,写出函数关系u=u(t)(0≤t≤20) 1.t,0≤t≤10 由已知及图,得u=()={30-15,10<t≤20 16.下列函数∫和y是否相等,为什么? (1)f(x)=x,y(x)=1 (2)f(x)=x,y(x)=√z2 (3)f(r)=1, (r)=sin2a+cos2r (1)因∫的定义域为(-∞,0)U(0,+∞),p的定义域为(-∞,+∞),故这两个函数不相等 (2)因f(x)=x,y(x)=|r,故这两个函数的函数表达式不一样,则这两个函数不相等 (3)因y(x)=sin2x+cos32x=1恒成立,故这两个函数相等 17.证明对于直线函数f(x)=ax+b,若自变数值x=xn(n=1,2,…)组成一等差数列,则对应的函数 值vn=f(xn)(n=1,2,…)也组成一等差数列 证明:设xm-1,xm,xm+1是xn中任意3个相邻的数(2≤m≤n) 据题意,得2xm=xm-1+xm+1 又vn=f(xn)=axn+b,则ym-1=axm-1+b,m=arm 2aTm +2b, ym+1 +ym-1 =aTm+1+b+arm-1+b=2arm +2b, 从面2+2 axm+1+b,于是2ym 又xm-1,xm,xm+1是xn中任意3个相邻的数,则ym-1,ym,ym+1是vn中任意3个相邻的数,于是vn=f(xn)(n= 1,2,…)也组成一等差数列 18如果曲线y=/()上的任一条弦都高于它所限的弧(图1-10),证明不等式(x)+(x2)7/(22)对 于所有的x1,x2(x1≠x2)成立(凡具有上述特性的函数叫做凸函数) 证明:在曲线上任取两点A(x1,f(x1),B(x2,f(x2),连接AB,取其中点C(xc,y),则∫(x1)+f(x2)= 又曲线上xD=2所对点的纵坐标为yD=f(21+z2),则x=ED 又曲线y=f(x)上的任一条弦都高于它所限的弧且x1,x2为弦与弧的交点,则>D即(2)+fe2)> (2)对于所有的x,2(1≠n)成立 ∫(x) 9.证明下列各函数在所示区间内是单调增加的函数 (1)y=x2(0≤x<+∞) (2)y=sinr(≤x≤需 证明
5 13. x(t) = 0, 0 6 t < 10 1 + t 2 , 10 6 t 6 20 t − 10, 20 < t 6 30 ߶x(0), x(5), x(10), x(15), x(20), x(25), x(30)ßøx—˘áºÍ„/. )µdÆßx(0) = 0, x(5) = 0, x(10) = 101, x(15) = 226, x(20) = 401, x(25) = 15, x(30) = 20 14. e]y¥&á˛xºÍ.UÏe¤5½ßÈuIS ײ&ßU&á˛ßz20éAGe]8©ßÿ v20鈱20éOé.&á˛360é±Sûߣ—˘áºÍLà™ßøx—ß„/. )µdÆßy = f(x) = 8, 0 < x 6 20 16, 20 < x 6 40 24, 40 < x 6 60 15. Û¿u)Ï)òánÅߟÅ/X„1-9ß—ºÍ'Xu = u(t)(0 6 t 6 20). )µdÆ9„ßu = u(t) = 1.5t, 0 6 t 6 10 30 − 1.5t, 10 < t 6 20 16. eºÍf⁄ϕ¥ƒÉ ßèüoº (1) f(x) = x x , ϕ(x) = 1 (2) f(x) = x, ϕ(x) = √ x2 (3) f(x) = 1, ϕ(x) = sin2 x + cos2 x )µ (1) œf½¬çè(−∞, 0) S (0, +∞)ßϕ½¬çè(−∞, +∞)ߢ¸áºÍÿÉ . (2) œf(x) = x, ϕ(x) = |x|ߢ¸áºÍºÍLà™ÿòßK˘¸áºÍÿÉ . (3) œϕ(x) = sin2 x + cos2 x = 1ð§·ß˘¸áºÍÉ . 17. y²ÈuÜǺÍf(x) = ax + bßegCÍäx = xn(n = 1, 2, · · ·)|§ò ÍßKÈAºÍ äyn = f(xn)(n = 1, 2, · · ·)è|§ò Í. y²µxm−1, xm, xm+1¥xn•?ø3áÉÍ(2 6 m 6 n) ‚Køß2xm = xm−1 + xm+1 qyn = f(xn) = axn + bßKym−1 = axm−1 + b, ym = axm + b, ym+1 = axm+1 + bßu¥2ym = 2axm + 2b, ym+1 + ym−1 = axm+1 + b + axm−1 + b = 2axm + 2bßl 2ym = ym−1 + ym+1 qxm−1, xm, xm+1¥xn•?ø3áÉÍßKym−1, ym, ym+1¥yn•?ø3áÉÍßu¥yn = f(xn)(n = 1, 2, · · ·)è|§ò Í. 18. XJÇy = f(x)˛?ò^u—puߧÅl£„1-10§ßy²ÿ ™ f(x1) + f(x2) 2 > f x1 + x2 2 È u§kx1, x2(x1 6= x2)§·£Ö‰k˛„A5ºÍ⇺ͧ. y²µ3Dz?¸:A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2))ßÎABߟ•:C(xC , yC )ßKf(x1) + f(x2) = 2yC , x1 + x2 = 2xC qDzxD = x1 + x2 2 §È:pãIèyD = f x1 + x2 2 ßKxC = xD qÇy = f(x)˛?ò^u—puߧÅlÖx1, x2èuÜl:ßKyC > yD= f(x1) + f(x2) 2 > f x1 + x2 2 Èu§kx1, x2(x1 6= x2)§·. ✲ ✻ ✜ ✜ ✜ ✜ ✜ ✜ ✜ 0 x1 x2 x A C B xD y f(x) 19. y²eàºÍ3§´´mS¥¸NO\ºÍµ (1) y = x 2 (0 6 x < +∞) (2) y = sin x − π 2 6 x 6 π 2 y²µ