2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 基础班微积分第4章微分学基本定理及应用 4.1引言 微分学基本定理的首要背景是研究可导函数y=f(x)在某点x处取得极值的问题。函 数y=f(x)在x=x0处取得极值(应该说是局部极值一—徹观性态)的基本事实是在x=x 处的函数增量(x0)=f(x0+△x)-f(x)在x0附近(或者说两侧)为定号,即恒为正或恒 为负。以在x处取得极大值情况来分析y=∫(x)在x附近(某N(x0,6)邻域)的微观 性态如下: 设∫(x)在x处可导,在x处取得极大值,即在N(x26)内的任意x处应有 f(x)≤f(x0),由此可知=f(x)-f(x0)≤0,即在N(x0,O)内偏离x时,函数f(x) 取值会变小,于是可知: 若x>x,=f(x+A)-/(x)≤0 由极限的保序性便得到1my≤0,fx)≤0. 当x<x,则=(-(x≥0.my≥0,f(n)≥0, △r→0°△x 于是我们有∫(x0)≥0并且∫(x0)≤0。由此断定∫(x0)=0,这便是费马定理的结论。 由费马定理可以直接导出导数零点定理,并且可以导出其余几个微分学基本定理。 4.2微分中值定理 定理4.1费马定理( Fermat定理,可导函数取得极值的必要条件) 设f(x)满足:1°在某邻域N(x0,O)内有定义并且x∈N(x,)有f(x)≤f(x)(或 ≥∫(x0)};2°在x处可导,则f(x0)=0。 例4.1证明导数零点定理 导数零点定理设函数y=f(x)在[a,b]上可导,并且∫(a)∫'(b)<0。则必 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 基础班微积分第 4 章 微分学基本定理及应用 4.1 引言 微分学基本定理的首要背景是研究可导函数 y = f (x) 在某点 处取得极值的问题。函 数 在 处取得极值(应该说是局部极值——微观性态)的基本事实是在 处的函数增量 0 x y = f (x) 0 x = x 0 x = x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ∆f x = f x + ∆x − f x 在 附近(或者说两侧)为定号，即恒为正或恒 为负。 以在 处取得极大值情况来分析 0 x 0 x y = f (x) 在 x0附近(某 ( , ) N x0 δ 邻域)的微观 性态如下： 设 f (x) 在 x0 处可导，在 x0 处取得极大值，即在 ( , ) N x0 δ 内的任意 处应有 ，由此可知 x ( ) ( ) 0 f x ≤ f x ∆f = f (x) − f (x0 ) ≤ 0 ，即在 ( , ) N x0 δ 内偏离 时，函数 取值会变小，于是可知： 0 x f (x) 若 x > x0 ， 0 ( ) ( ) 0 0 0 ≤ − + ∆ − = ∆ ∆ x x f x x f x x f 。 由极限的保序性便得到 lim 0 0 ≤ ∆ ∆ → + ∆ x f x ， ( ) 0 。 f+ ′ x0 ≤ 当 x < x0 ，则 0 ( ) ( ) 0 0 ≥ − − = ∆ ∆ x x f x f x x f 。 lim 0 0 ≥ ∆ ∆ → − ∆ x f x ， ( ) 0 ， f− ′ x0 ≥ 于是我们有 ( ) 0 并且 。由此断定 ，这便是费马定理的结论。 f ′ x0 ≥ f ′(x0 ) ≤ 0 f ′(x0 ) = 0 由费马定理可以直接导出导数零点定理，并且可以导出其余几个微分学基本定理。 4.2 微分中值定理 定理 4.1 费马定理(Fermat 定理，可导函数取得极值的必要条件) 设 f (x) 满足：1°在某邻域 ( , ) N x0 δ 内有定义，并且 ( , ) ∀x∈ N x0 δ 有 (或 ；2°在 处可导，则 。 ( ) ( ) 0 f x ≤ f x ( )) 0 ≥ f x 0 x f ′(x0 ) = 0 例 4.1 证明导数零点定理 导数零点定理 设函数 y = f (x) 在 [a,b] 上可导，并且 ′( ) ′( ) < 0 + − f a f b 。则必 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 1 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 彐x。∈(ab),使得∫(x)=0(在x处有水平切线) 思路:f(x)在a,b两点异号,若f(a)<0,由局部比较性质,则∫(x)在x=a右侧 有x使得f(x1)<f(a),因此f(a)不是f(x)的最小值点;而广(b)>0,同样在x=b左 侧有x2使得f(x2)<f(a),即f(b)也不是∫(x)的最小值点。因此可导函数f(x)必有最 小值点x0∈(a,b),再由费马定理,即有f(x0)=0 【证】设∫(a)<0且广(b)>0(另一情况请读者完成证明),即有 ∫(a)=linf(x)-f(a) 按极限定义,V1>0,彐81>0,使当0<x-a<6时有 f()-(x)-/(o∠f(a)+6 取E1=一f(a)>0,则有 f(x)-f(a)<∫(a)x-a)<0 即f(x)<f(a),因此f(a)不是f(x)在[a,b上的最小值 另外又有∫(b)>0,则VE2>0。彐2>0,使当0<b-x<2时必有 (b)-a2<(x)-/() <∫(b)+E2° 特别取22-2 ∫(b)>0,则有 f(x)-f(b)<∫(b(x-b)<0 即∫(x)<∫(b)。因此∫(b)亦不是f(x)在[,b]上的最小值。 因为∫(x)在[ab]上可导,则必连续,由最大最小值定理特别必有,使得f(x0)为f(x) 在[a6上的最小值而且x。≠a,x0≠b,即存在x0∈(anb),由费马定理,必有f(x0)=0 定理4.2罗尔定理〔 Rolle)设函数y=f(x)满足:1°在[a,b]上连续 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 ( , ) ∃x0 ∈ a b ，使得 ( ) 0 (在 处有水平切线)。 f ′ x0 = 0 x 思路： f ′(x) 在 a,b 两点异号，若 ′( ) < 0 +f a ，由局部比较性质，则 在 右侧 有 使得 ，因此 不是 的最小值点；而 f (x) x = a 1 x ( ) ( ) 1 f x < f a f (a) f (x) ′( ) > 0 −f b ，同样在 左 侧有 使得 x = b 2 x ( ) ( ) 2 f x < f a ，即 也不是 的最小值点。因此可导函数 必有最 小值点 ，再由费马定理，即有 f (b) f (x) f (x) ( , ) x0 ∈ a b f ′(x0 ) = 0 。 【证】设 ′( ) < 0 且 (另一情况请读者完成证明)，即有 +f a ′( ) > 0 −f b 0 ( ) ( ) ( ) lim < − − ′ = → + + x a f x f a f a x a ， 按极限定义， 0 ∀ε 1 > ， 0 ∃δ 1 > ，使当 1 0 < x − a < δ 时有 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ε < ′ + ε − − + ′ − < +f a x a f x f a f a 。 取 ( ) 0 2 1 ε 1 = − f+ ′ a > ，则有 ( )( ) 0 2 1 f (x) − f (a) < f + ′ a x − a < ， 即 f (x) < f (a) ，因此 f (a) 不是 f (x) 在[a,b]上的最小值。 另外又有 f− ′(b) > 0，则 0 ∀ε 2 > 。 0 ∃δ 2 > ，使当 2 0 < b − x < δ 时必有 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ε < ′ + ε − − − ′ − < −f b x b f x f b f b 。 特别取 ( ) 0 2 1 ε 2 = f − ′ b > ，则有 ( )( ) 0 2 3 f (x) − f (b) < f − ′ b x − b < 即 f (x) < f (b)。因此 f (b) 亦不是 f (x) 在[a,b]上的最小值。 因为 在 上可导，则必连续，由最大最小值定理，特别必有，使得 为 在 上的最小值，而且 f (x) [a,b] ( )0 f x f (x) [a,b] x0 ≠ a, x0 ≠ b ，即存在 ( , ) x0 ∈ a b ，由费马定理，必有 ( ) 0 。 f ′ x0 = 定理 4.2 罗尔定理(Rolle) 设函数 y = f (x)满足： 1° 在[a,b]上连续； 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 2 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 2(a,b)内可导;3°f(a)=∫(b) 则三ξ∈(a,b),使得∫()=0(即在x=5处有水平切线)。 【证】f(x)在[a,b]上连续,则必在上取得最大最小值,因为f(a)=f(b),若f(x)的最 大最小值在[a,b]端点取得,则∫(x)≡C,x∈[a,b]均有∫(x)=0。否则,f(x)的最 大最小值中至少有二者之一在[a,b]内部取得,不妨设 使得f()=maxf(x),又因为f(x)在可导,∫()必为(a,b)内的极大值点,由 费马定理,得到f()=0。 注:罗尔定理及前面的导数零点定理的命题形式均为有水平切线的充分条件。不满足这两 个定理的条件时,结论也可能成立。 定理43拉格朗日微分中值定理 agrange)设∫(x)满足 1°在{ab]上连续;2°在(a,b)内可导 则彐∈(a,b)使得()= f∫(b)-f(a) 【证】设点A(a,/(a)与点B(b,(b)之间的弦为AB,mf(b)-f(a)=KB,AB的 直线方程为y(x)-f(a)=/(b)-f(x-a), 取辅助函数 F(x)=f(x)-y(x)=f(x)-()(b)-f(a)(x-a) b-a 则F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的条件,且F(a)=0,F(b)=0,于是3∈(a,b), F'(=0,即f()=/(b)-a 注1:拉格朗日微分中值定理是罗尔定理(Ro1le)的进一步拓展,证明方法是通过引入辅助 函数,构造罗尔定理的条件,从而得到结果。并且(41)式可有如下等价表达式 f(b)-f(a)=f'()b-a)=f(a+0(b-a)b-a),(0<b<1); 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 2° (a,b)内可导； 3° f (a) = f (b) 。 则∃ξ ∈ (a,b) ，使得 f ′(ξ ) = 0 (即在 x = ξ 处有水平切线)。 【证】 f (x) 在[a,b]上连续，则必在上取得最大最小值，因为 f (a) = f (b) ，若 的最 大最小值在 端点取得，则 f (x) [a,b] f (x) ≡ C ，∀x ∈[a,b]均有 f ′(x) = 0 。否则， 的最 大最小值中至少有二者之一在 内部取得，不妨设， f (x) [a,b] 使得 ( ) max ( ) [ , ] f f x x∈ a b ξ = ，又因为 f (x) 在可导， f (ξ ) 必为(a,b)内的极大值点，由 费马定理，得到 f ′(ξ ) = 0 。 注：罗尔定理及前面的导数零点定理的命题形式均为有水平切线的充分条件。不满足这两 个定理的条件时，结论也可能成立。 定理 4.3 拉格朗日微分中值定理(Lagrange) 设 f (x) 满足 1° 在[a,b]上连续；2° 在(a,b)内可导。 则∃ξ ∈ (a,b) 使得 b a f b f a f − − ′ = ( ) ( ) (ξ ) 【证】 设点 A(a, f (a)) 与点 B(b, f (b)) 之间的弦为 AB ，则 KAB b a f b f a = − ( ) − ( ) ，AB 的 直线方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a y x f a − − − − = ， 取辅助函数 F(x) = f (x) − y(x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a f x f a − − − = − − 则 F(x) 在[a,b]上满足罗尔定理的条件，且 F(a) = 0, F(b) = 0 ，于是∃ξ ∈ (a,b) ， F′(ξ ) = 0 ，即 b a f b f a f − − ′ = ( ) ( ) (ξ ) 。 注 1：拉格朗日微分中值定理是罗尔定理(Rolle)的进一步拓展，证明方法是通过引入辅助 函数，构造罗尔定理的条件，从而得到结果。并且(4.1)式可有如下等价表达式 f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a) = f (a +θ (b − a))(b − a) ，(0 < θ < 1) ； 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 3 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 f(x)=f(x0)+f()(x-x0) f(x。+h)=f(x0)+f(5h 注2:微分中值定理的证明是先引入辅助函数,以创造应用罗尔定理的条件,导出结论 注3:由微分中值定理可直接得出4个推论如下 推论1:若Vx∈(a,b)恒有∫(x)=0,则∫(x)=c,其中c为常数 推论2:若x∈(a,b)有f(x)=g'(x),则在(a,b)内必有∫(x)=g(x)+c。当且仅当两 曲线y=f(x)与y=g(x)有一个公共点(x0,y),x∈(a,b)时,有f(x)=g(x) 推论3:若f(x)在[a,b]上有界,则对[a,b]上的任意两点x1,x2存在常数L>0,使得 (x2)-f(x)≤Lx2-x 其中L称为利普希茨常数。(若进一步有0<L<1,则这样的y=f(x)满足压缩映象原理 压缩映象原理不属于本课程要求的内容) 推论4:若Vx∈(a,b),∫(x)≥0,则y=f(x)在(a,b)上单调(非严格)增加,且∫(x)>0 时y=∫(x)严格单调增加。而当∫(x)≤0时(或∫(x)<0),y=f(x)非严格(或严格) 单调减少。 注4:拉格朗日中值定理的两个常用重要功能是: (1)由y=f(x)在某x1处的取值或性态,可推知x近旁处∫(x)的取值或性态,像是 条“链锁”,对满足定理条件的f(x)在[a,b]区间上有某种全局控制作用。 (2)拉格朗日中值定理在y=f(x)的函数取值(或增量)与其导数取值之间搭起了 座桥梁。 定理4.4柯西中值定理( Cauchy)如果f(x)和g(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续 2)在开区间(a,b)内可导,且g(b)≠g(a),g(x)≠0,则在开区间(a,b)内至少存在一点 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 f x = f x + f ′ ξ x − x f (x0 + h) = f (x0 ) + f ′(ξ )h 注 2：微分中值定理的证明是先引入辅助函数，以创造应用罗尔定理的条件，导出结论。 注 3：由微分中值定理可直接得出 4 个推论如下： 推论 1：若∀x ∈ (a,b) 恒有 f ′(x) = 0 ，则 f (x) = c ，其中c 为常数。 推论 2：若∀x ∈ (a,b) 有 f ′(x) = g′(x) ，则在(a,b)内必有 f (x) = g(x) + c 。当且仅当两 曲线 y = f (x) 与 y = g(x) 有一个公共点( , ), ( , ) x0 y0 x0 ∈ a b 时，有 f (x) = g(x) 。 推论 3：若 f ′(x) 在[a,b]上有界，则对[a,b]上的任意两点 存在常数 ，使得 1 2 x , x L > 0 2 1 2 1 f (x ) − f (x ) ≤ L x − x 其中 L 称为利普希茨常数。（若进一步有0 < L < 1，则这样的 y = f (x)满足压缩映象原理。 压缩映象原理不属于本课程要求的内容） 推论 4：若∀x ∈ (a,b) ，f ′(x) ≥ 0，则 y = f (x) 在 上单调(非严格)增加，且 时 严格单调增加。而当 (a,b) f ′(x) > 0 y = f (x) f ′(x) ≤ 0 时(或 f ′(x) < 0 )， y = f (x) 非严格(或严格) 单调减少。 注 4：拉格朗日中值定理的两个常用重要功能是： (1) 由 在某 处的取值或性态，可推知 近旁处 的取值或性态，像是一 条“链锁”，对满足定理条件的 在 区间上有某种全局控制作用。 y = f (x) 1 x 1 x f (x) f (x) [a,b] (2) 拉格朗日中值定理在 的函数取值（或增量）与其导数取值之间搭起了一 座桥梁。 y = f (x) 定理 4.4 柯西中值定理(Cauchy) 如果 和 满足：(1)在闭区间 上连续； (2)在开区间 内可导，且 f (x) g(x) [a,b] (a,b) g(b) ≠ g(a), g′(x) ≠ 0，则在开区间(a,b)内至少存在一点 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 4 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 5,使得f(b)-/(a)(5 g(b)-g(a)g'(5) 4.3微分学基本定理的几何意义 微分学几个基本定理有着明显的几何意义,了解这些几何意义,将有助于我们建立必 要的直观感性认识。读者可以进一步思考,f(x)满足什么条件时,罗尔定理与拉格朗日定 理中的点具有唯一性?又满足什么条件时有两个不同的1与52? 例42设m,n为自然数,f(x)=x"(1-x),则f(x)在(0,1)内零点个数为(B)。 【解】正确选项为(B)。 由罗尔定理,f(0)=f(1)=0,因此至少存在一点5∈(01)使∫'(2)=0,又 f(x)=mx -(1-x)"-nx(1-x)-=x -(1-x)"-(m-mx 令f(x)=0,当x∈()时,xm(1-x)≠0,得x°m+n 为唯一驻点,即ξ=x0为∫(x)的唯一零点。 例43设f(x)是周期为1的周期函数,在[0,1内可导,且f(1)=0, 令M=m以(x),试证明存在5∈(2),使得(5列2M 【证】首先,因∫(x)是周期为1的周期函数,则只须证明 50∈(0,1)使得(5)≥2M。(用 Lagrange中值定理) 由f(x)在[0,1内可导,则必在[0,内连续,又因f(1)=f(0)=0, 则只能存在x∈(O,1)使得(x)=M=maNf(x) (最大最小值不在端点取得) 对区间(0,xM):±M-0=f(1)xM 对区间(x,1):0±M=f"(52)1-x1),51∈(0,x1),点2∈(x,1 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 ξ ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ξ ξ g f g b g a f b f a ′ ′ = − − 4.3 微分学基本定理的几何意义 微分学几个基本定理有着明显的几何意义，了解这些几何意义，将有助于我们建立必 要的直观感性认识。读者可以进一步思考， 满足什么条件时，罗尔定理与拉格朗日定 理中的 f (x) ξ 点具有唯一性？又满足什么条件时有两个不同的ξ 1与ξ 2？ 例 4.2 设 m, n 为自然数， ，则 m n f (x) = x (1− x) f ′(x) 在(0,1)内零点个数为 ( B )。 (A) 0。 (B) 1。 (C) 2。 (D) 3。 【解】正确选项为(B)。 由罗尔定理， f (0) = f (1) = 0 ，因此至少存在一点ξ ∈(0,1) 使 f ′(ξ ) = 0 ，又 1 1 ( ) (1 ) (1 ) − − ′ = − − − m n m n f x mx x nx x (1 ) ( ) 1 1 x x m mx nx m n = − − − − − 。 令 f ′(x) = 0 ，当 x ∈ (0,1)时， (1 ) 0 ，得 1 1 − ≠ m− n− x x (0,1) 0 ∈ + = m n m x 为唯一驻点，即 0 ξ = x 为 f ′(x) 的唯一零点。 例 4.3 设 f (x) 是周期为 1 的周期函数，在[0, 1] 内可导，且 f (1) = 0, 令 max ( ) [0,1] M f x x∈ = ，试证明存在ξ ∈(1, 2)，使得 f ′(ξ) ≥ 2M 。 【证】首先，因 f (x) 是周期为 1 的周期函数，则只须证明 ξ 0 ∈(0,1)使得 f ′(ξ 0 ) ≥ 2M 。（用 Lagrange 中值定理） 由 f (x) 在[0, 1] 内可导，则必在[0, 1] 内连续，又因 f (1) = f (0) = 0, 则只能存在 xM ∈(0,1) 使得 ( ) max ( ) [0,1] f x M f x x M ∈ = = 。 （最大最小值不在端点取得） 对区间(0, xM ) ： M M 0 f ( )x ξ 1 ± − = ′ 对区间(xM , 1) ： 0 ( )(1 ) 2 M ± M = f ′ ξ − x ， ( ) M 0, x ξ 1 ∈ ， ( ,1) 2 M ξ ∈ x 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 5 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805