2008春季班 线性代数第5章线性方程组 第5章线性方程组 n元线性方程组 111 1 , amx1+am,x,+…+axn=b m11 m22 mnn m 其中x1,x2,…,xn表示n个未知量,m是方程个 数,a表示第i个方程中含x;项的系数, b1,b2,…,b叫常数项 记系数矩阵为A=(a) x=(x1,x2,…,xn),常数项向量为 b=12b则线性方程组可写作矩阵 形式: 如果记a1=(a11,a21,…,am1), a2=(a12,a22,,am2), …,an=(an,an,a),则线性方程组可 以表示成向量方程:
2008 春季班 线性代数 第 5 章 线性方程组 5—1 第 5 章 线性方程组 n元线性方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b " """"""""""" " " 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 ， 其中 x x xn , , , 1 2 " 表示 个未知量，m 是方程个 数， 表示第 n aij i个方程中含 x j 项的系数， b b bm , , , 1 2 " 叫常数项． 记系数矩阵为 ( ) A = aij ， x = T x x xn ( , , , ) 1 2 " ，常数项向量为 T b b b bm ( , , , ) = 1 2 " ，则线性方程组可写作矩阵 形式： Ax = b． 如果记 ( )T m a a a 1 11 21 1 α = , ,", ， ( )T m a a a 2 12 22 2 α = , ,", ， ( ) T n n n mn , a ,a , ,a " α = 1 2 " ，则线性方程组可 以表示成向量方程：
2008春季班 戋性代数第5章线性方程组 x1C1+x2a2+…+xnn=b 若将一组数c1,C2,…,Cn代替未知量 1%29…9 x,使方程组中的m个等式都成立,就 说(Cc1,C2,…,Cn)是方程组的一个解方程组的全体 解称为方程组的解集.解集相同的方程组称为同解方 程组 线性方程组中,如果常数项为0,即b=0,称 A4x=0为齐次线性方程组.若常数项不为0,称 Ax=b为非齐次线性方程组 51高斯消元法 解方程组的最基本的方法是高斯消元法.设n元 线性方程组 aux+anrx2+.+anxn=by 211 2 ann 1+ax+…+l…x mn n 矩阵 b, 21 22 2n 2 n
2008 春季班 线性代数 第 5 章 线性方程组 5—2 x1α 1 + x2α 2 +"+ xnα n = b． 若将一组数 代替未知量 n c ,c , ,c 1 2 " x x xn , , , 1 2 " ，使方程组中的m个等式都成立，就 说 是方程组的一个解．方程组的全体 解称为方程组的解集．解集相同的方程组称为同解方 程组． ( , , , ) 1 2 n c c " c 线性方程组中，如果常数项为０，即b = 0，称 Ax = 0为齐次线性方程组．若常数项不为０，称 Ax = b为非齐次线性方程组． 5.1 高斯消元法 解方程组的最基本的方法是高斯消元法．设n元 线性方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b " """"""""""" " " 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 ， 矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ m m mn m n n a a a b a a a b a a a b " " " " " " " " 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1
2008春季班 线性代数第5章线性方程组 叫线性方程组的增广矩阵.记作A=(A|b 所谓高斯消元法就是对线性方程组的增广矩阵 施行矩阵的初等行变换,化作行阶梯形. 12 b, 21 22 2n m2 n 12 2 2r n d +1 0 根据行阶梯形,对方程组的解有如下的结论: (1)若l1≠0,方程组无解 (2)若d,+1=0,方程组有解这时又分两种情况 情况1:=n,方程组有唯一解; 情况2:r<n,方程组有无穷多解
2008 春季班 线性代数 第 5 章 线性方程组 5—3 叫线性方程组的增广矩阵．记作 A = ( A b )． 所谓高斯消元法就是对线性方程组的增广矩阵 施行矩阵的初等行变换，化作行阶梯形． ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ m m mn m n n a a a b a a a b a a a b " " " " " " " " 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → → + 0 0 1 22 2 2 2 11 12 1 1 1 # " % # # # # " " " " " r rr rn r r n r n d c c d c c c d c c c c d 根据行阶梯形，对方程组的解有如下的结论： （１）若 0，方程组无解； dr+1 ≠ （２）若 0 dr+1 = ，方程组有解．这时又分两种情况： 情况１：r = n，方程组有唯一解； 情况２：r < n，方程组有无穷多解．
2008春季班 戋性代数第5章线性方程组 例1试问t取什么值时,线性方程组 12千2x x1+1223s x1-L2 无解,有唯一解,有无穷多解. 52非齐次线性方程组Ax=b有解的条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件是增广 矩阵的秩等于系数矩阵的秩.即 r(A)=r(4) 如果从方程组的向量表示形式来看,方程组为 x11+x,a,+…+xnan=b. n 方程组有解就意味着b可由系数矩阵A的列向量组 线性表出,或说b是系数矩阵A的列向量组的线性组 合 若n元非齐次线性方程组Ax=b有解, 当r(A)=n时,方程组Ax=b有惟一解; r(A)<n时,方程组Ax=b有无穷多解 例2非次线性方程组Ax=b,其中A是mxn 矩阵,则Ax=b有惟一解的充分必要条件是
2008 春季班 线性代数 第 5 章 线性方程组 5—4 例 1 试问t 取什么值时，线性方程组 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = − + + = − + = − , 4, 2 4, 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x tx x t x x tx x x x 无解，有唯一解，有无穷多解． 5.2 非齐次线性方程组 Ax = b有解的条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件是增广 矩阵的秩等于系数矩阵的秩．即 r(A) = r(A)． 如果从方程组的向量表示形式来看，方程组为 x1α 1 + x2α 2 +"+ xnα n = b． 方程组有解就意味着b可由系数矩阵 A的列向量组 线性表出，或说b是系数矩阵 A的列向量组的线性组 合． 若n元非齐次线性方程组 Ax = b有解， 当r(A) = n时，方程组 Ax = b有惟一解； r(A) < n时，方程组 Ax = b有无穷多解． 例 2 非齐次线性方程组 Ax = b，其中 A是 矩阵，则 m× n Ax = b 有惟一解的充分必要条件是
2008春季班 线性代数第5章线性方程组 (4)r(A)=n (B)r(A)=n; (C)r(A)=m; (D)r(4)=n且b为A的列向量组的线性组合 53齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是: 若A是mXn矩阵,则 齐次线性方程组Ax=0有非零解兮r(A)<n 齐次线性方程组Ax=0只有零解兮→系数矩阵A列 满秩 对于一些特殊情况,还有以下几个结论 (1)若A是n阶方阵, 齐次线性方程组Ax=0有非零解分A=0 (2)若A是n阶方阵,齐次线性方程组Ax=0只 有零解兮A≠0 (3)若A是M×n矩阵,当m<n时,齐次线性 方程组Ax=0必有非零解. 例3齐次线性方程组Ax=0,仅有零解的充分必 要条件是
2008 春季班 线性代数 第 5 章 线性方程组 5—5 （ ）． (A) r(A) = n； (B) r(A) = n； (C) r(A) = m； (D) r(A) = n 且b为 A的列向量组的线性组合． 5.3 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是： 若 A是m× n矩阵，则 齐次线性方程组 Ax = 0有非零解⇔ r(A) < n． 齐次线性方程组 Ax = 0只有零解⇔系数矩阵 A列 满秩． 对于一些特殊情况，还有以下几个结论： （１）若 A是n阶方阵， 齐次线性方程组 Ax = 0有非零解⇔ A = 0． （２）若 A是n阶方阵，齐次线性方程组 Ax = 0只 有零解⇔ A ≠ 0． （３）若 A是m× n矩阵，当m < n时，齐次线性 方程组 Ax = 0必有非零解． 例 3 齐次线性方程组 Ax = 0，仅有零解的充分必 要条件是