《微积分、线性代数》考研知识点解析：第3章 导数概念、性质与计算

2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 基础班微积分第3章 导数概念、性质与计算 3.1导数概念 导数定义与概念是一元函数微分学的核心内容,对它的背景与概念,应从极限的角度去认 识,并且应把导数的定义看作一种标准极限模式。 由导数概念本身,可以得到一系列重要性质,而这些性质是研究函数性态的重要依据与工 具。在计算方面,应训练准确快速的导数计算能力。在学习中要掌握好基本初等函数的导数公 心人“ 式,导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,以及反函数、隐函数和由参数方程确定的函 数的求导公式及要点 3.1.1导数定义及其变形形式 定义3.1设函数y=f(x)在点x的某邻域内有定义 x=x-x f(x0+△x)-f(x0) lim Ay= lim /(xo+Ax)-(o) r(o)/(xo)=lim /(x)-f(o) 导数f(x0)的几何意义:切线斜率。 等价性描述,4(x=A+a(A), 且A=f(x)。其中a(△x)是△x→>0时的无穷小量。进一步可改写为 4(x0)=f(x)△x+a(△x)△x 或f(x)=f(x0)+f(x0)△x+B(△x) 其中B(△x)=a(△x)△x为△x→>0时的高阶无穷小量 导数定义的描述,还可以扩展理解为f(x)=1m/(x+a(A)-(x 定义3.2如果lim f∫(x0+Ax)-f(x0) △x→0°△x△x→0 存在,则称此极值为f(x)在x处的左导数,记为∫(x);如果 lim f(xo+Ax)-f(ro Ax→0’△x△r+0 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 1网址:www.tsinghuatutorcom电话82378805

2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 基础班微积分第 3 章 导数概念、性质与计算 3.1 导数概念 导数定义与概念是一元函数微分学的核心内容，对它的背景与概念，应从极限的角度去认 识，并且应把导数的定义看作一种标准极限模式。 由导数概念本身，可以得到一系列重要性质，而这些性质是研究函数性态的重要依据与工 具。在计算方面，应训练准确快速的导数计算能力。在学习中要掌握好基本初等函数的导数公 式，导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，以及反函数、隐函数和由参数方程确定的函 数的求导公式及要点。 3．1．1 导数定义及其变形形式 定义 3.1 设函数 y = f (x) 在点 的某邻域内有定义， 0 x 0 ∆x = x − x ， ( ) ( ) 0 0 ∆y = f x +∆x − f x ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 f x x f x x f x x y x x = ′ ∆ +∆ − = ∆ ∆ ∆ → ∆ → 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x x − − ′ = ∆ → 导数 ( )的几何意义:切线斜率。 0 f ′ x 等价性描述： ( ) ( ) 0 A x x f x = + ∆ ∆ ∆ α , 且 A = f ′(x0 ) 。其中α(∆x) 是 ∆x → 0 时的无穷小量。 进一步可改写为 ∆f (x ) = f ′(x )∆x + (∆x)⋅∆x 0 0 α 或 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 f x = f x + f ′ x ∆x + β ∆x 其中 β (∆x) = α(∆x)⋅∆x 为 ∆x → 0 时的高阶无穷小量。 导数定义的描述，还可以扩展理解为 ( ) ( ( )) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x f x x f x f x x ∆ + ∆ − ′ = ∆ → α α 定义 3.2 如果 x f x x f x x y x x ∆ +∆ − = ∆ ∆ − → − ∆ → ∆ ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 存在，则称此极值为 f (x) 在 处的左导数，记为 ；如果 0 x ( ) 0 f x − ′ x f x x f x x y x x ∆ +∆ − = ∆ ∆ + → + ∆ → ∆ ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 1 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805

2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 存在,则称此极值为∫(x)在x处的右导数,记为∫(x0)。 显然由极限存在的充要条件,f(x)在x处可导的充分必要条件是f(x)在x处的左、右 导数都存在,且相等∫(b)=f(a) f(x)在闭区间ab上可导,是指f(x)在(a,b)内每一点都可导,并且∫(a)与∫(b)均 存在。 B 3. 1 lim x[sinIn(1+=)-sin In(1+-)] 【解】令1=,则原极限= lim sin In(+y)-sim+ =[3 sin In(1+31)- sin In(1+t)|=0=2 例32(1)若f(a)=k存在,则 imf(a-1)-f(a)=() (A)一k。(B)k (C)0 (D)不存在。 【解】limf(a-)-f(a) f(a-)-f(a) lim/(a+D-f(a) h f(a)=-f(a)=-k 上述第最后用到了导数存在的充要条件:左右导数存在且相等,因此应选(A)。 例32(2)(2007数一、二、三、四共用)设函数f(x)在x=0处连续, 下列命题错误的是()。 若lim少2存在,则f(0)=0 B)若lm(x)+/(=)存在,则f(0)=0 (C)若lim f(x) 存在,则∫(0)存在 (D)若lim f(x)-f(-存在,则f(0)存在 解】答案D。 考点:点连续概念,导数定义,无穷小量比阶的概念与极限运算法则。 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 2网址:www.tsinghuatutorcom电话82378805

2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 存在，则称此极值为 f (x) 在 处的右导数，记为 。 0 x ( ) 0 f x + ′ 显然由极限存在的充要条件， 在 处可导的充分必要条件是 在 处的左、右 导数都存在，且相等 。 f (x) 0 x f (x) 0 x f− ′(b) = f (a) + ′ f (x) 在闭区间[a,b]上可导，是指 f (x) 在(a,b)内每一点都可导，并且 f+ ′(a)与 f (b) − ′ 均 存在。 例 3.1 + − + = →∞ )] 1 ) sin ln(1 3 lim [sin ln(1 x x x x 。 【解】令 x t 1 = ，则 原极限＝ t t t t sin ln(1 3 ) sin ln(1 ) lim 0 + − + → = [3sin ln(1+ 3t) − sin ln(1+ t)]′ | t=0 = 2 。 例 3.2（1） 若 f ′(a) = k 存在，则 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − →+∞ ) ( ) 1 lim ( f a h h f a h （ ）。 （A） − k 。 （B） k 。 （C）0 。 （D）不存在。 【解】 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − →+∞ ) ( ) 1 lim ( f a h h f a h h f a h f a h 1 ) ( ) 1 ( lim − − − = − →+∞ t f a t f a t ( ) ( ) lim 0 + − = − → − = − f ′(a) = − f ′(a) = −k. − 上述第最后用到了导数存在的充要条件：左右导数存在且相等，因此应选（A）。 例 3.2（2）（2007-数一、二、三、四共用）设函数 f (x) 在 x = 0处连续， 下列命题错误的是（ ）。 （A）若 x f x x ( ) lim →0 存在，则 f (0) = 0 （B）若 x f x f x x ( ) ( ) lim 0 + − → 存在，则 f (0) = 0 （C）若 x f x x ( ) lim →0 存在，则 f ′(0) 存在 （D）若 x f x f x x ( ) ( ) lim 0 − − → 存在，则 f ′(0) 存在 【解】答案 D。 考点：点连续概念，导数定义，无穷小量比阶的概念与极限运算法则。 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 2 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805

2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 (D)的成立不一定保证导致可导的两个极限存在。请看错误做法 f(x)-f(-x) x→0 fx)-/(0)+im(-x)-f0 x→0 =f(0)+f(0)=2f(0) 则∫'(O)存在。极限运算法则错误 x arctan 例3.3设f(x) 讨论f(x)的可微性,若可微,求∫(x)并讨论其 1),x≤0 连续性。 【解】首先∫(x)在x=0处连续。再由初等函数可导性的结论,只须讨论f(x)在x=0处的 可微性,为此考虑极限 rarctan ∫(0)=lim 存在 f'(0=mex-1 f(0) 因此f(x)在x=0处可微,结论为:f(x)在(∞,+∞)上处处可徽 arctan x>0 2(x+1) f(x)= x=0 Z COSX <0 2 limf(x) 3∫(0),于是∫(x)在x=0处连续。结论为:∫(x)处处连续。 COS 0 例34设f(x)= 其中g(x)是有界函数,则∫(x)在x=0处有(D) xg(x)x≤0 (A)极限不存在。(B)极限存在,但不连续。(C)连续,但不可导。(D)可导 【解】首先考查x=0处的左右极限 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 3网址:www.tsinghuatutorcom电话82378805

2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 (D)的成立不一定保证导致可导的两个极限存在。请看错误做法： x f x f x x ( ) ( ) lim 0 − − → x f x f x ( ) (0) lim 0 − = → x f x f x − − − + → ( ) (0) lim 0 = f ′(0) + f ′(0) = 2 f ′(0) 则 f ′(0) 存在。极限运算法则错误！ 例 3.3 设 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ > = ( 1), 0 2 , 0 1 arctan ( ) sin e x x x x f x π x ,讨论 的可微性，若可微，求 并讨论其 连续性。 f (x) f ′(x) 【解】 首先 在 处连续。再由初等函数可导性的结论, 只须讨论 在 处的 可微性，为此考虑极限 f (x) x = 0 f (x) x = 0 2 1 arctan (0) lim 0 π ′ = = + → + x x x f x 存在， 2 1 lim 2 (0) sin 0 π π = − ′ = − → − x e f x x = (0) +f ′ 因此 f (x) 在 x = 0 处可微，结论为： f (x) 在(−∞,+∞) 上处处可微。 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < = > + − ′ = , 0 2 cos , 0 2 , 0 2( 1) 1 arctan ( ) sin 2 3 e x x x x x x x f x π x π ， (0) 2 lim ( ) 0 f x f x ′ = = ′ → π ，于是 f ′(x) 在 x = 0处连续。结论为： f ′(x) 处处连续。 例 3.4 设 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > − = ( ) 0 0 1 cos ( ) 2 x g x x x f x x ，其中 g(x) 是有界函数，则 f (x) 在 x = 0处有（ D ）。 (A) 极限不存在。 (B)极限存在，但不连续。 (C) 连续，但不可导。(D) 可导。 【解】首先考查 x = 0处的左右极限。 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 3 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805

2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 imnf(x)=1m1-sx=1mx=01m,/()=1mxg(x)=0(因为g(x)有界 x→02 因此lim∫(x)=f(0)=0,故∫(x)在x=0处连续。再考查x=0处的左右导数是否存在。 lim f(x)-f(0)= lim xg(x)=o im(x)-/(O)=1m1-x=lmn2=0 因此∫(0)与∫(0)均存在,且相等。于是f(x)在x=0处可导,且∫(0)=0, 谷案为①)。 3.1.2由函数在一点可导决定的函数局部性质 性质1当f(x)在x处可导时,f(x)必然存在x处连续。 但必须注意到:f(x)在x处连续时,却不一定在x处可导 性质2设函数∫(x)连縷,且∫(O)>0,则存在δ>0,使得对任意的x∈(0,6)有 f(x)>f(0),对任意的x∈(-0,0)有f(x)<f(0)。 【证】由f(O0)=limf(x)-f(0) x-0>0,则由极限保序性可推断 存在δ>0,使当x∈(-06,0)或x∈(0,)时,f(x)-f(0)0 即f(x)-f(0)与x应保持同号,因此对任意的x∈(0,6)有∫(x)>f(0),对任意的 x∈(-o,0)有f(x)<f(0) 注:只由一点处的导数正负号,不能决定函数的增减性。函数的增减性属于区间上或全局性 质 例35设f(O)存在,当x>0时,f(x)>f(O),且(O)<,若im(+ cos f(x) sIn x 则∫'(0)=()。 A)0。(B)1。()√2。⑩)√e。 【解】答案:C。由im(1+ 1-cos f(x )=e,可以知道当x→0时有 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 4网址:www.tsinghuatutorcom电话82378805

2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 0 2 lim 1 cos lim ( ) lim 2 0 0 0 = = − = → + → + → + x x x x f x x x x lim ( ) lim ( ) 0 (因为 有界) 2 0 0 = = → − → − f x x g x x x g(x) 因此lim ( ) (0) 0 ，故 在 0 = = → f x f x f (x) x = 0处连续。 再考查 x = 0处的左右导数是否存在。 lim ( ) 0 ( ) (0) lim 0 0 = = − → − → − xg x x f x f x x x f x f x ( ) (0) lim 0 − → + 0 2 lim 1 cos lim 3/ 2 2 0 0 = = ⋅ − = → + → + x x x x x x x 因此 f+ ′(0) 与 f _ ′(0) 均存在，且相等。于是 f (x) 在 x = 0处可导，且 f ′(0) = 0， 答案为(D)。 3．1．2 由函数在一点可导决定的函数局部性质 性质 1 当 f (x) 在 处可导时， 必然存在 处连续。 0 x f (x) 0 x 但必须注意到： f (x) 在 处连续时，却不一定在 处可导。 0 x 0 x 性质 2 设函数 f (x) 连续，且 f '(0) > 0 ，则存在 δ > 0 ，使得对任意的 x ∈ (0,δ ) 有 f (x) > f (0) ，对任意的 x ∈ (−δ ,0) 有 f (x) < f (0)。 【证】由 0 0 ( ) (0) (0) lim 0 > − − ′ = → x f x f f x ，则由极限保序性可推断 存在δ > 0 ，使当 x ∈ (−δ ,0) 或 x ∈ (0,δ ) 时， 0 0 ( ) (0) > − − x f x f ， 即 f (x) − f (0) 与 x 应保持同号，因此对任意的 x ∈ (0,δ ) 有 f (x) > f (0) ，对任意的 x ∈ (−δ ,0) 有 f (x) < f (0)。 注：只由一点处的导数正负号，不能决定函数的增减性。函数的增减性属于区间上或全局性 质。 例 3.5 设 f ′(0) 存在，当 x > 0 时， f (x) > f (0) ，且 f (0) <1,若 e x f x x x = − + → 1 0 ) sin 1 cos ( ) lim(1 , 则 f ′(0) = （ ）。 (A) 0 。 (B) 1。 (C) 2 。 (D) e 。 【解】答案：C。由 e x f x x x = − + → 1 0 ) sin 1 cos ( ) lim(1 ，可以知道当 x → 0 时,有 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 4 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805

2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 im1-01+1-os/(x)=1,lm1.1-eos/(x)=1 sIn x sInx 因为f(O)<1,则必有limf(x)=0=f(0), 于是Im1.1-cos/()21 f2(s (不可用洛必达法则!) 又因为f(0)存在,所以 f()P=limf(x),f(x)=2,得到f(0)=√2。 x→0 例36设f(x)在x=0点某邻域内可导,且当x≠0时f(x)≠0,已知f(0)=0,f(0)=2 求极限lim(1-2f( 【解】所求极限为“1”型,设法利用标准极限,并与导数∫(O)=2相联系。 lim(1-2f(x)sinr = lim(1-2f(r)3-2/() 由复合极限定理,只须考虑极限 im-2/(x)=im-2/(x).x sIn x sin x 由f(0)=0,f(0)=2存在,故上述极限可利用极限的乘法运算求得,即有 lim-2f(x)=-20150 x f(x)-f(0) ]·[in ]=-2f(0)=-4 sIn x 于是lim(1-2f(x)mx=e 注:利用导数定义求某些极限是一类重要题型,应熟悉导数定义的极限构造形式,并注意利用 复合极限定理与已知重要极限的结论 3.2微分概念与相对变化率 32.1微分概念 由导数的等价性描述,我们已经知道可导函数f(x)在x处的增量 4(x0)=f(xo+△x)-f(x0)可以表示为 f(x0+△x)-f(x0)=f(x)Ax+a(△x)Ax 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 5网址:www.tsinghuatutorcom电话82378805

2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 ) 1 sin 1 cos ( ) ln(1 1 lim 0 = − ⋅ + → x f x x x , 1 sin 1 1 cos ( ) lim 0 = − ⋅ → x f x x x 因为 f (0) <1，则必有lim ( ) 0 (0) 0 f x f x = = → ， 于是 1 ( ) lim 2 1 sin 1 1 cos ( ) lim 2 2 0 0 = = − ⋅ → → x f x x f x x x x , (不可用洛必达法则！) 又因为 f ′(0) 存在, 所以 2 ( ) lim ( ) [ (0)] lim 0 0 2 ′ = ⋅ = → → x f x x f x f x x ，得到 f ′(0) = 2 。 例 3.6 设 f (x) 在 x = 0点某邻域内可导，且当 x ≠ 0 时 f (x) ≠ 0 ，已知 f (0) = 0, f ′(0) = 2， 求极限 x x f x sin 1 0 lim(1− 2 ( )) → 。 【解】所求极限为“ ”型，设法利用标准极限，并与导数 ∞ 1 f ′(0) = 2相联系。 x x f x sin 1 0 lim(1− 2 ( )) → x f x f x x f x sin 2 ( ) 2 ( ) 1 0 lim(1 2 ( )) − − ⋅ → = − 由复合极限定理，只须考虑极限 x x x f x x f x x x sin 2 ( ) lim sin 2 ( ) lim 0 0 ⋅ − = − → → 由 f (0) = 0, f ′(0) = 2存在，故上述极限可利用极限的乘法运算求得，即有 ] sin ] [lim ( ) (0) 2[lim sin 2 ( ) lim 0 0 0 x x x f x f x f x x→ x→ x→ ⋅ − = − − = −2 f ′(0) = −4 于是 sin 4 1 0 lim(1 2 ( )) − → − f x = e x x 。 注：利用导数定义求某些极限是一类重要题型，应熟悉导数定义的极限构造形式，并注意利用 复合极限定理与已知重要极限的结论。 3.2 微分概念与相对变化率 3.2.1 微分概念 由导数的等价性描述，我们已经知道可导函数 f (x) 在 处的增量 0 x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ∆f x = f x + ∆x − f x 可以表示为 f (x + ∆x) − f (x ) = f ′(x )⋅∆x + (∆x)⋅∆x 0 0 0 α 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 5 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805