σ-代数或这集的时候说“设μ为盟上的测度”或“设μ为X上的测 度”这类表达语,那是完全合理的 虽在逻辑上不大有意义但在习惯上(我们通常都是顺从数学 上的习惯而不是逻辑)总是说“设X为测度空间”;这里着重的并不 在于集,而在于测度,当然,在使用这种说法时,我们总是默认,有 个定义在K的某个σ代数上的测度,而它正好是我们实际上要 讨论的, 类似地,一个拓扑空间乃是一个序对(X,可),此处τ为集x上 的拓扑.并且有意义的东西是在r中而不是在X中,但述及时仍 说成“拓扑空间X” 全部数学中均使用这种默契.大多数的数学系统都是由一些 集,连同某些特定的子集类或者某些二元运算或者某些关系(要求 它们具有某些性质).根据需要,人们可以列举出它们,然后把这 个系统作为序对,三元序组等等来描述,例如实直线可描述为四 元序组(R1,十,,<),此处十,,及<满足完备阿基米德( Archi- medes)有序域的公理,然而,我敢打赌,只有极少数数学家才想把 实数域看作四元序组 [0,∞]中的算术运算 1.22在整个积分论中,不可避免地要遇到∞,一个理由是 希望在无限测度的集上能够积分;毕竟,实直线有无限长.另一个 理由是,即使最初只对实值函数有兴趣,但是一个正实函数序列的 上极限或一个正实函数序列的和在某些点却很可能是∞,而当这 种情况发生时,人们不得不作出一些特殊规定,这将在很大程度上 丧失如定理1.26及1.27那样的优美性 我们定义,如果0≤4≤∞,则a+∞=+a=∞,且 21
o,当0<a≤∞ a·c。 0,当a=0 实数的和及积当然用通常方法定义 定义0·∞=0似乎很奇怪,然而,用这定义不难验证,在[0,∞] 内交换律,结合律及分配律都是无条件成立的 对待消去律则要小心处置:仅当a<∞时,a十b=a十c才蕴 涵着b=c;仅当0<a<∞时,a6才蕴涵b=c 注意,下列有用的命题成立 如果0≤a≤a2s…,0≤b≤b≤且bb则a ab 把这个命题和定理117及1.14结合起来,可以看出到[0,∞ 内的可测函数的和及积是可测函数, 正函数的积分 本节中,亚为集X的a-代数,H为骤上的正测度 l.23定义如果8为X上的可测简单函数,形如 C i 此处a1,…,既n为8的不同的值(与定义1.16比较),且如果E∈, 定义 (2) du=a:u(A:n) 此处用到约定0·∞=0;因可能对某个讠,1=0且p(A1∩E)=∞ 如果f:X→[0,∞]为可测,且E就,定义: 3) fau= sup adμ 这上确界取遍所有使得0≤8≤∫的简单可测函数 22
(3)的左边称为∫在E上关于测度的 Lebesgue积分,它 是[0,c]内的一个数 注意,当∫是简单函数的时候,表面上得到了fa的两个定 义,就是(2)和(3)然而,它们得到的积分值是相同的.因为在这 种情况下,出现在(3)右边的函数8中,f是最大的 L.24下列命趣是定义的直接推论,其中出现的函数和集, 都假定是可测的: (a)如果0≤≤9,则「fd≤「,d (b)如果A∈B而f≥0,则瓜≤fdμ (c)如果f≥0而c为常数,0≤c≤∞,则 efau=c fdu (d)如果对所有x∈E,(2x)=0,即使(B)=c,也有 fd=0. (e)如果H(型)=0,即使对每个x∈E,f(x)=0,也有 du=0. f)如果∫≥0,则fdμ=1xmfd 最后的结果表明,我们能把我们的积分定义限制为在全部x 上的积分而不失去一般性.若要在子集上积分,我们可以用(f)作 为定义。提出那一方式作为定义,纯粹是一种爱好 在此要注明,测度空间X的每个可测子集E可以用完全自然 的方法重新构成一个测度空间:新的可测集简单地说,就是含在E 内的X的可测子集除了它的定义域受限制之外,测度并不改变
这再次表明,一旦我们在每个测度空间上定义积分之后,就自动地 定义了可测空间的每个可测子集上的积分 1,25命题设8和为X上的可测简单函数.对E∈趼, 定义 PP(E)= sdu 则q为上的测度,同时 (2) (8+t)du= sdu+i tdu Jx (这个命题包括定理1.27及1.29的特殊形式,) 证明如果8象在定义123内一样,且E1,E2,…为羽的互 不相交元素,其并为E.的可数可加性指出 (B)=a(A∩E)=∑a∑(A,∩E,) ∑∑a1H(A,∩E,)=∑g(E 1主 同样,P()=0,因此q不恒等于∞ 其次设8同前面一样,B1,…,Bn,是t的不同的值,且令B;= :(x)=B}.若E=A∩B;,则 (8+t)d=(a1+月B,)以(E; 且 十.td=a(E,)+(E;) 于是用E代替X时,(2)成立,因为X是不相交的集E,(1≤i≤ ,1≤≤m)的并,我们命题的前半部蕴涵着(2)成立 现在达到理论的有趣的部分,它的最显著的特点之一是利用 它可以有把握处理极限运算 2
126 Lebesgue单调收敛定理投是一个x上的可测 函数序列,且假定 (a)对每一个∈X,0≤f(x)≤f2(m)≤…≤∞ b)对每一个派x当n→>时,(x)一f(x) 则∫是可测的,且当n→>00时, fn4-→.fda 证明因为f,≤n存在一个6∈∞)使得当n→∞时 fndμ 根据定理114,f是可测的.因为f≤f,故对每个有f≤f 因此(1)蕴涵 (2) a≤Jdμ 设8是使得0≤8≤f的任一简单可测函数,设c是一个常数, 0<0<1,且定义 (3) E={x:fn(x)≥c8(x)}(=1,2,3,…) 每一个E是可测的,E1CE2CB∈…,且X=UEn,为了看出这 个等式,考虑x∈X;若f(x)=0,则xE;若f(x)>0,因为c<1, 则c(x)<f(x);因此对某个,∈B,同样有 (4) fda≥|.fnd≥c8d (n=1,2,3,…) 令→>,应用命题1.25和定理1.19(d)于(4)的最后一个积分 结果是 (5) a≥esdμ 因为(5)对每一个c<1成立, 25