2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 基础班微积分辅导第2章 函数的极限与连续函数 2.1函数的极限概念 2.1.1函数在无穷远处的极限 在掌握好数列极限的概念与方法的前提下,可以顺利地学好函数的极限,只需要注意在 函数极限问题里,自变量的趋向应包括以下6种情况 x→x,x→x,x→x,x→>+∞,x+-0,x→∞ 掌握好函数极限的概念与方法,是进一步为学习函数连续性、导数等后续概念的重要基 定义2.1设函数y=f(x)在区间(a,+∞)内有定义,VE>0,若存在某个常数A与 X>0,使当x>X时恒有(x)-4<E,则称y=f(x)当x趋于正无穷大时的极限为 A,或收敛于A。记为limf(x)=A。 若在上述的常数A=0,则称∫(x)是当x趋于正无穷大时的无穷小量。若上述定义中 的A不存在,则称∫(x)当x趋于正无穷大时的极限不存在,或发散 注:上述定义的几何意义与数列极限香类似 定义22设函数y=∫(x)在区间(a,+∞)内有定义,vG>0,若存在某个X>0,使当 x>X时,恒有f(x)>G,则称f(x)是当x趋于正无穷大时的无穷大量。记为 imf(x)=∞。 当然,还有有如下的两种情况: lim f(x)=+oo (f(x)>G) 5 lim f(x)=-o0( f(x)<-G) x 类似上述两个定义,可给出x→-时f(x)的极限与∫(x)为无穷大量的定义。读 者可练习给出下列ⅹ→-∞时的极限与无穷大量的定义描述: lim f(x)=A, lim f(x)=oo lim f(x)=+oo lim f(x)=-o0 定义23设函数y=∫(x)在区间(∞,+∞)内有定义,若存在某个常数A与X>0,使 当冈>x时,恒有(x)-4<E,则称y=f(x)当x趋于无穷大时的极限为A,或收敛 于A。记为lim∫(x)=A 若在上述的常数A=0,则称∫(x)是当x趋于无穷大时的无穷小量。若上述定义中 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 1网址:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 基础班微积分辅导第 2 章 函数的极限与连续函数 2．1 函数的极限概念 2．1．1 函数在无穷远处的极限 在掌握好数列极限的概念与方法的前提下，可以顺利地学好函数的极限，只需要注意在 函数极限问题里，自变量的趋向应包括以下 6 种情况： → − 0 x x ， x → x0 + ， x → x ， x → +∞ ， x → −∞ ， x → ∞ 。 掌握好函数极限的概念与方法，是进一步为学习函数连续性、导数等后续概念的重要基 础。 定义 2.1 设函数 y = f ( x) 在区间 (a, + ∞) 内有定义， ∀ε > 0 ，若存在某个常数 A 与 X > 0 ，使当 x > X 时恒有 f (x) − A < ε ，则称 y = f ( x) 当 x 趋于正无穷大时的极限为 A ，或收敛于 A 。记为 f x A x = →+∞ lim ( ) 。 若在上述的常数 ，则称 是当 趋于正无穷大时的无穷小量。若上述定义中 的 A = 0 f ( x) x A 不存在，则称 f ( x) 当 x 趋于正无穷大时的极限不存在，或发散。 注：上述定义的几何意义与数列极限香类似。 定义 2.2 设函数 y = f ( x) 在区间(a, + ∞) 内有定义，∀G > 0，若存在某个 ，使当 时，恒有 X > 0 x > X f (x) > G ，则称 是当 趋于正无穷大时的无穷大量。记为 。 f (x) x = ∞ →+∞ lim f (x) x 当然，还有有如下的两种情况： = +∞ →+∞ lim f ( x) x （ f (x) > G ）与 = −∞ →+∞ lim f ( x) x （ f (x) < −G ） 类似上述两个定义，可给出 x → −∞ 时 的极限与 为无穷大量的定义。读 者可练习给出下列 时的极限与无穷大量的定义描述： f ( x) f ( x) x → −∞ f x A， x = →−∞ lim ( ) = ∞ →−∞ lim f (x) x = +∞ →−∞ lim f ( x) x = −∞ →−∞ lim f ( x) x 。 定义 2.3 设函数 y = f ( x) 在区间(−∞, + ∞) 内有定义，若存在某个常数 A 与 ，使 当 X > 0 x > X 时，恒有 f (x) − A < ε ，则称 y = f ( x) 当 x 趋于无穷大时的极限为 A ，或收敛 于 A 。记为 f x A。 x = →∞ lim ( ) 若在上述的常数 A = 0，则称 f ( x) 是当 x 趋于无穷大时的无穷小量。 若上述定义中 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 1 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 的A不存在,则称∫(x)当x趋于无穷大时的极限不存在,或发散。应特别注意,这里x以 双向方式趋于无穷大 类似前面的定义,还可以给出当x(双向)趋于无穷大时,f(x)为无穷大量的三种描 述,即正无穷大量,负无穷大量和(双向)无穷大量。请读者完成这些练习。 2.1.2函数在一点处的极限 定义24设函数y=f(x)在x的去心邻域N(x,6)={x0<x-xnl<66>0 内有定义,若vE>0,都存在某个常数A与>0(6<6,使当0<x-x<时, 恒有f(x)-4<6,则称y=f(x)当x趋于x时的极限为A,或收敛于A。记为 lim f(x)=A 若在上述的常数A=0,则称∫(x)是当x趋于x时的无穷小量。若上述定义中的A 不存在,则称f∫(x)当x趋于x时的极限不存在,或发散 定义25设函数y=f(x)在区间(x,x0+6)(d>0)内有定义,若VE>0,都存在 某个常数A与6>0(6<6,使当0<x-x。<6时,恒有(x)-A<E,则称f(x) 当x趋于x时的右极限为A,记为limf(x)=A 而当函数y=∫(x)在区间(x0-6,x0)(6>0)内有定义,若VE>0,都存在某个 常数A与>0(6<6),使当-60<x-x0<0时,恒有f(x)-4<,则称∫(x) 当x趋于x0时的左极限为A,记为limf(x)=A 特别,上述三个极限)式中的A易为O或土(即f(x)取值无限变大)时,分别称 ∫(x)在相应趋向下的无穷大量或正、负无穷大量。记为 limf(x)=∞,limf(x)=±,limf(x)=± x→x0 2.2函数极限存在的条件 定理31极限lm∫(x)=A(或∞,土∞)存在的充要条件是:Iim∫(x)=A(或∞,±∞) 与limf∫(x)=B(或∞,±∞)都存在,且A=B(或∞,土∞) 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 2网址:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 的 A 不存在，则称 当 趋于无穷大时的极限不存在，或发散。应特别注意，这里 以 双向方式趋于无穷大。 f ( x) x x 类似前面的定义，还可以给出当 （双向）趋于无穷大时， 为无穷大量的三种描 述，即正无穷大量，负无穷大量和（双向）无穷大量。请读者完成这些练习。 x f ( x) 2．1．2 函数在一点处的极限 定义 2.4 设函数 y = f ( x) 在 的去心邻域 x0 ( , ) { , } * N x0 δ = x 0 < x − x0 < δ δ > 0 内有定义，若∀ε > 0，都存在某个常数 A 与δ 0 > 0（δ 0 < δ ），使当0 < − 0 < δ 0 x x 时， 恒有 f (x) − A < ε ，则称 y = f (x) 当 x 趋于 x0 时的极限为 A ，或收敛于 A 。记为 f x A x x = → lim ( ) 0 。 若在上述的常数 A = 0，则称 f ( x) 是当 x 趋于 x0 时的无穷小量。 若上述定义中的 A 不存在，则称 f ( x) 当 x 趋于 时的极限不存在，或发散。 x0 定义 2.5 设函数 y = f (x) 在区间( , ) x0 x0 + δ （δ > 0 ）内有定义，若∀ε > 0，都存在 某个常数 A 与δ 0 > 0（δ 0 < δ ），使当0 < − 0 < δ 0 x x 时，恒有 f (x) − A < ε ，则称 当 趋于 时的右极限为 f ( x) x 0 x A ，记为 f x A x x = → + lim ( ) 0 。 而当函数 y = f ( x) 在区间( , ) 0 0 x − δ x （δ > 0 ）内有定义，若∀ε > 0，都存在某个 常数 A 与δ 0 > 0（δ 0 < δ ），使当 − δ 0 < x − x0 < 0时，恒有 f (x) − A < ε ，则称 当 趋于 时的左极限为 f ( x) x 0 x A ，记为 f x A x x = → − lim ( ) 0 。 特别，上述三个极限)式中的 A 易为 ∞ 或 ± ∞ （即 f (x) 取值无限变大）时，分别称 f ( x) 在相应趋向下的无穷大量或正、负无穷大量。记为 = ∞ → lim ( ) 0 f x x x ， = ±∞ → + lim ( ) 0 f x x x ， = ±∞ → − lim ( ) 0 f x x x 。 2．2 函数极限存在的条件 定理 3.1 极限 f x A（或 x = →∞ lim ( ) ∞, ± ∞ ）存在的充要条件是： （或 ） 与 （或 ）都存在，且 f x A x = →+∞ lim ( ) ∞, ± ∞ f x B x = →−∞ lim ( ) ∞, ± ∞ A = B （或∞, ± ∞ ）。 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 2 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 定理2.2极限lim∫(x)=A(或∞,±)存在的充要条件是:imf(x)=A与 im∫(x)=B都存在,且A=B 2.3极限存在的准则 2.3.1单调有界准则 定理2。3设函数y=f(x)在区间(a,a+)(δ>0)内有定义且单调减有下界 则右极限lim∫(x)=A存在。而当函数y=f(x)在区间(a-,a)(>0)内有定义且 单调增有上界时,左极限lim∫(x)=A存在 2.3.2夹逼准则 定理24设函数y=f(x)与g(x),px)在区间(a-6,a+)(d>0)内有定义且满足 p(x)<f(x)<g(x),若lmg(x)=limp(x)=A存在,则lmf(x)=A存在 2.3.3无穷小量与有界函数的乘积的极限存在,且仍为无穷小量。即 设∫(x)在某种趋向下有界,例如,若存在某个常数M>0, x∈(0,+∞)都有f(x)≤M,lim(x)=0,则limf(x)(x)=0 这可以作为极限存在的准则来应用。 两个标准极限 利用上述两个准则可以得到下述两个标准极限(重要极限 lim sinr 1 标准极限1 =1标准极限2 lim(l+x)=e 2.5函数极限的性质 2.5.1运算性质(以下各条均适用于x→,∞的情形) (1)设limf(x)=A,C为实常数,则lim(C·f(x)=CA (2)设limf(x)=A,img(x)=B,则lm((x)±g(x)=A±B (3)设limf(x)=A,img(x)=B,则im((x)g(x)=AB (4)设Iim∫(x)=A,g(x)≠0,img(x)=B≠0,则Imnf(x)=4 x-x g(x) B (5)设lim∫(x)=∞,∫(x)≠0,则lim 0 利用上述运算性质可以计算或判断某些极限。为方便计算,遇到无穷大量时,应设法将 无穷大量转化为无穷小量。上述运算性质的命题形式均为充分条件,不满足前面条件时, 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 3网址:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 定理 2.2 极限 f x A （或 x x = → lim ( ) 0 ∞, ± ∞ ）存在的充要条件是： 与 都存在，且 f x A x x = → + lim ( ) 0 f x B x x = → − lim ( ) 0 A = B 。 2．3 极限存在的准则 2．3．1 单调有界准则 定理 2。3 设函数 y = f ( x) 在区间 (a, a + δ ) （ δ > 0 ）内有定义且单调减有下界， 则右极限 f x A x a = → + lim ( ) 存在。而当函数 y = f (x) 在区间(a − δ ,a)（δ > 0 ）内有定义且 单调增有上界时，左极限 f x A x a = → − lim ( ) 存在。 2．3．2 夹逼准则 定理 2.4 设函数 y = f ( x) 与 g( x),φ( x) 在区间(a − δ , a + δ )（δ > 0 ）内有定义且满足 φ( x) < f (x) < g( x) ，若 g x x A x a x a = = → → lim ( ) limφ( ) 存在，则 f x A存在。 x a = → lim ( ) 2．3．3 无穷小量与有界函数的乘积的极限存在，且仍为无穷小量。即 设 f (x) 在某种趋向下有界，例如，若存在某个常数 M > 0， ∀x ∈ (0, + ∞) 都有 f (x) ≤ M ， lim ( ) = 0 →+∞ g x x ，则 lim ( ) ( ) = 0 →+∞ f x g x x 。 这可以作为极限存在的准则来应用。 2．4 两个标准极限 利用上述两个准则可以得到下述两个标准极限（重要极限） 标准极限 1 1 0 = → x x x sin lim 标准极限 2 x e x x + = → 1 0 lim(1 ) 2．5 函数极限的性质 2．5．1 运算性质（以下各条均适用于 x → ±∞, ∞ 的情形） （1）设 f x A ，C 为实常数，则 x x = → lim ( ) 0 (C f x ) CA x x ⋅ = → lim ( ) 0 。 （2）设 f x A ， x x = → lim ( ) 0 g x B x x = → lim ( ) 0 ，则 ( f x g x ) A B x x ± = ± → lim ( ) ( ) 0 （3）设 f x A ， x x = → lim ( ) 0 g x B x x = → lim ( ) 0 ，则 ( f x g x ) AB x x ⋅ = → lim ( ) ( ) 0 。 （4）设 f x A ， x x = → lim ( ) 0 g(x) ≠ 0 ， 0 0 = ≠ → g x B x x lim ( ) ，则 B A g x f x x x = → ( ) ( ) lim0 。 （5）设 0 0 = ∞ ≠ → lim f (x) , f (x) x x ，则 0 1 0 = → ( ) limx x f x 。 利用上述运算性质可以计算或判断某些极限。为方便计算，遇到无穷大量时，应设法将 无穷大量转化为无穷小量。上述运算性质的命题形式均为充分条件，不满足前面条件时， 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 3 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 结论不一定不成立。在考试中,极限的运算法则的运用错误是常见错误,应特别注意避免 这类错误。 2.5.2解析性质及复合极限定理 函数极限具有一些重要的解析性质,主要包括极限的保序性(保号性)与复合极限定 理,掌握这些性质对处理极限以及后续的微分与积分内容会有较大帮助。下面给出这些性质 均以x→xn的情形为例。 定理2.5极限的保序性(保号性) 若lim∫(x)=A>0,则在x0的附近(除去x)某区间内必然有f(x)>0。换言 之,若imf(x)=A>0,则存在x的去心邻域N(x,)={x0<x-x<66>0}, 使当x∈N(x0,)时,必然有f(x)>0。又若limf(x)=A<0,则在x0的附近(除 去x0)某区间内必然有f(x)<0 【证】由lim∫(x)=A>0,则vE>0,都存在某个常数A与δ>0 使当0<x-x<6时,恒有|(x)-4<E或A-E<f(x)<A+E 特别取E=>0,则<f()3 A A 于是有f(x) 由此性质,可以推论:若limf(x)=A,limg(x)=B,且A>B,则存在x的 某去心邻域N(x0,)={x0<x-x。<6,0>0,使当x∈N(x,6)时 有∫(x)>g(x)。并且,进一步有如下推论 极限保序性的逆(请读者自行练习证明) 若在x0的附近(除去x0)某区间内∫(x)>0,且极限lim∫(x)存在,则 imf(x)=A≥0;而当在x0的附近(除去x)某区间内∫(x)<0时,则 f(x)=A≤0 定理2.6有界性 若极限lim∫(x)存在,则∫(x)在x0的附近(除去x)某区间内有界 定理2.7复合极限定理 若limf(u)=A,=(x),im(x)=L0,x≠x时,a≠l,则 lim∫(u(x)=A (2.3) 复合极限定理,也适用于序列的极限运算。这一定理可以使得极限计算变的更加快捷 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 4网址:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 结论不一定不成立。在考试中，极限的运算法则的运用错误是常见错误，应特别注意避免 这类错误。 2．5．2 解析性质及复合极限定理 函数极限具有一些重要的解析性质，主要包括极限的保序性（保号性）与复合极限定 理，掌握这些性质对处理极限以及后续的微分与积分内容会有较大帮助。下面给出这些性质 均以 的情形为例。 x → x0 定理 2.5 极限的保序性（保号性） 若 ，则在 的附近（除去 ）某区间内必然有 。换言 之，若 ，则存在 的去心邻域 0 0 = > → f x A x x lim ( ) x0 x0 f ( x) > 0 0 0 = > → f x A x x lim ( ) x0 ( 0 , ) { 0 , } N x0 δ = x < x − x0 < δ δ > ， 使当 ( ,δ ) x ∈ N x0 时，必然有 f ( x) > 0 。又若 0 0 = < → f x A x x lim ( ) ，则在 的附近（除 去 ）某区间内必然有 。 x0 x0 f ( x) < 0 【证】 由 0 ，则 0 = > → f x A x x lim ( ) ∀ε > 0，都存在某个常数 A 与δ > 0， 使当0 < x − x0 < δ 时，恒有 f (x) − A < ε 或 A − ε < f (x) < A + ε 。 特别取 0 2 = > A ε ，则 2 3 ( ) 2 A f x A < < ，于是有 0 2 ( ) > > A f x 。 由此性质，可以推论： 若 f x A x x = → lim ( ) 0 ， g x B x x = → lim ( ) 0 ，且 A > B ，则存在 的 某去心邻域 x0 ( 0 , ) { 0 , } N x0 δ = x < x − x0 < δ δ > ，使当 ( ,δ ) x ∈ N x0 时， 有 f ( x) > g( x) 。并且，进一步有如下推论： 极限保序性的逆（请读者自行练习证明） 若在 的附近（除去 ）某区间内 ，且极限 存在，则 ；而当在 的附近（除去 ）某区间内 时 ， 则 。 x0 x0 f ( x) > 0 lim f (x) x→x0 0 0 = ≥ → f x A x x lim ( ) x0 x0 f ( x) < 0 0 0 = ≤ → f x A x x lim ( ) 定理 2.6 有界性 若极限 lim f (x)存在，则 在 的附近（除去 ）某区间内有界。 x→x0 f ( x) x0 x0 定理 2.7 复合极限定理 若 lim f (u) A, u u(x) u u = = → 0 , 0 0 u x u x x = → lim ( ) ， x ≠ x0 时 ， u ≠ u0 ， 则 f u x A x x = → lim ( ( )) 0 （2.3） 复合极限定理，也适用于序列的极限运算。这一定理可以使得极限计算变的更加快捷 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 4 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 方便。利用极限运算性质及复合极限定理可以得到极限的等价描述,以及两个标准极限的 变形表达式如下 lim f(x)=Aof(x)=A+a(x) (2.4) lim sin a(x)=1 lim(I+a(x)a(r=e (2.6) 其中a(x)为某种趋向x→()时的无穷小量,且(2.5)与(2.6)中的a(x)≠0。 2.6无穷小量比阶 定义26设a(x)与B(x)为某种趋向x→()时的无穷小量,若满足!m(x) x-(B(x) 则(1)当4≠0时,称a(x)与B(x)为同阶无穷小量(x→()),特别=1时,称a(x) 与B(x)为等价无穷小量(x→()),可记为a(x)B(x)。 (2)当H=0时,称a(x)是比B(x)高阶的无穷小量(x→())。 (3)当=∞时,称a(x)是比B(x)低阶的无穷小量(x→())。 利用极限性质及运算,可以得到下列几组常用等价无穷小量(x→0) x -sinx- tanx -In(1+x): 1-cosx-=x: a-l-xlna (a>0) 1~x:(x+1)2-1~ax(λ∈R);sinx-x 6十 注:(1)以上等价关系可在广义下应用,即等价关系中的x在应用中常换为满足 lima(x)=0的某个a(x)。 (2)在极限运算中,可以用等价价无穷小量进行替换,但必须注意,替换只能在因子位 置上进行,因等价无穷小量是用因子乘积a(x) 定义的。非法替换是常见错误 p(r) 例2.1极限imn(√2x2+x-√2x2+1)= (A);(B) (C) (D)不存在 2 2√2 【解】lim(√2x2+x-√2x2+1)=lim x→0√2x2+x+√2x2+1 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 5网址:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 方便。 利用极限运算性质及复合极限定理可以得到极限的等价描述，以及两个标准极限的 变形表达式如下 lim ( ) ( ) ( ) ( ) f x A f x A x x = ⇔ = +α → ⋅ （2.4） = 1 → ⋅ ( ) sin ( ) lim ( ) x x x α α （2.5） ( x ) x e x + = → ⋅ ( ) ( ) lim α( ) α 1 1 (2.6) 其中α(x) 为某种趋向 x → (⋅) 时的无穷小量，且（2.5）与（2.6）中的α( x) ≠ 0 。 2．6 无穷小量比阶 定义 2.6 设α(x) 与 β ( x) 为某种趋向 x → (⋅) 时的无穷小量，若满足 µ β α = → ⋅ ( ) ( ) lim ( ) x x x 则 （1）当 µ ≠ 0 时，称α(x) 与 β ( x) 为同阶无穷小量（ x → (⋅) ），特别 µ = 1 时，称α(x) 与 β ( x) 为等价无穷小量（ x → (⋅) ），可记为α(x) ~ β ( x) 。 （2）当 µ = 0 时，称α(x) 是比 β ( x) 高阶的无穷小量（ x → (⋅) ）。 （3）当 µ = ∞ 时，称α(x) 是比 β ( x) 低阶的无穷小量（ x → (⋅) ）。 利用极限性质及运算，可以得到下列几组常用等价无穷小量（ x → 0 ） x ~ sinx ~ tanx ~ ln(1 + x) ； 2 2 1 1 − cos x ~ x ； （ ）； ； （ a x a x − 1 ~ ln a > 0 e x x − 1 ~ x λx λ ( 1 + 1) − ~ λ ∈ R）； 3 6 1 sin x − x ~ − x 注：（1）以上等价关系可在广义下应用，即等价关系中的 x 在应用中常换为满足 lim ( ) 0 ( ) = → ⋅ x x α 的某个α(x) 。 （2）在极限运算中，可以用等价价无穷小量进行替换，但必须注意，替换只能在因子位 置上进行，因等价无穷小量是用因子乘积 ( ) ( ) x x β α 1 ⋅ 定义的。非法替换是常见错误。 例 2．1 极限 + − + = →∞ lim( 2 2 1) 2 2 x x x x （A） 2 2 1 ; （B） 2 1 ; （C） 2 2 −1 ; （D）不存在 【解】 lim ( 2 2 1) 2 2 + − + → +∞ x x x x 2 2 1 1 2 2 + + + − = →+∞ x x x x x lim 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 5 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805