向量组的线性相关性 第三节向量组的秩 >、最大线性无关向量组 二、矩阵与向量组秩的关系 三、向量组秩的重要结论 四、小结思考题
最大线性无关向量组 定义1设有向量组4,如果在中能选出个向量 15002950r9 满足 ()向量组4:a1,a2,…,a,线性无关; (2)向量组A中任意+1个向量(如果4中有 r+1个向量的话)都线性楼关,那末称向量组4是 向量组A的一个最大线性无关向量组(简称最大 无关组)最大无关组所含向量个数称为向量组 的秩只含零向量的向量组没有最大无关组,规定 它的秩为0. 上页
，满足 设有向量组 ，如果在 中能选出 个向量 r A A r , , , 1 2 定义１ （1）向量组A0 :1 ,2 , ,r线性无关； 个向量的话）都线性相关 ， （ ）向量组 中任意 个向量（如果 中 有 1 2 1 + + r A r A . 的 秩 ; 最大无关组所含向量个数r称为向量组 0 ） 向量组 的一个 （简称 那末称向量组 是 A A 最大线性无关向量组 最大 无关组 0. 它的秩为 只含零向量的向量组没有最大无关组，规定 一、最大线性无关向量组
三、矩阵与向量组秩的关系 定理1矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于 王它的行向量组的秩 上证设A=(a,2,…,am,R()=r,并设阶子式 D,≠0根据4定理2D,≠0知所在的列线性无 工工工 关;又由A中所有r+1阶子式均为零,知4中任意 r+1个列向量都线性相关.因此D所在的r列是4 的列向量的一个最大无关组,所以列向量组的秩 等于r类似可证4的行向量组的秩也等于R(A) 王页下
. 它的行向量组的秩 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 证 0. ( , , , ) ( ) , 1 2 = = r m D 设A a a a ，R A r 并设r阶子式 定理１ 关； 根据4.2定理2由Dr 0知所在的r列线性无 1 . 1 个列向量都线性相关 又由 中所有 阶子式均为零，知 中任意 + + r A r A 的列向量的一个最大无关组， 因此Dr所在的r列是A . 等于r 所以列向量组的秩 类似可证A的行向量组的秩也等于R(A). 二、矩阵与向量组秩的关系
向量组m1,a2,…,an的秩也记作R(a1,a2,…,am) 结论 若D是矩阵4的一个最高阶非零子式,则D 王所在的列即是列向量组的一个最大无关组,D 中所在的行即是行向量组的一个最大无关组 说明 工工 (1)最大无关组不唯 (2)向量组与它的最大无关组是等价的 上页
向量组a1 ,a2 , ,am的秩也记作 . 所在的 行即是行向量组的一个最大无关组 所在的 列即是列向量组的一个最大无关组， 若 是矩阵 的一个最高阶非零子式，则 r r D D A D r r r （1）最大无关组不唯一; ( , , , ) R a1 a2 am 结论 说明 （2）向量组与它的最大无关组是等价的
例1全体n维向量构成的向量组记作R",求R的 个最大无关组及R"的秩 解因为n维单位坐标向量构成的向量组 E 19c29 是线性无关的,又根据4定理3的结论(3)知R 中的任意n+1个向量都线性相关,因此向量组E 是R的一个最大无关组,且R秩等于n 上页
是线性无关的， 因为 维单位坐标向量构成的向量组 n E e e e n : , , , 1 2 解 . 一个最大无关组及 的秩 全体 维向量构成的向量组记作 ，求 的 n n n R 例 1 n R R 中的任意 个向量都线性相关， 又根据 定理 的结论 知 1 4.2 3 (3) n + R n . R R n E 是 n的一个最大无关组，且 n的秩等于 因此向量组