(4)lim infa, =-lim sup(-an 如果{an}收敛,则显然有 (5) lim supan =lim infa, =liman 十E 设{fn}为集X上广义实数的函数的序列,则用 (6)(supfn )()=sup(f,(r)) (7)(im supfn)()=lim sup(fn(r)) 中p n→∞ 来定义在x上的数 supf及 lim sup∫n 如果 (8) f(r)=limfn (r) 在每一点x∈X此极限都假设存在,则称∫为叙列{f。}的点态极 限 1.14定理如果对=1,23,fX,C是可测 且 sup fn, h=lim supf, 则g及是可测的 证明g(a,∞)=∪f;((a,∞]).因此由定理112() 推出g可测.当然,以if代替sup,同样的结论仍然成立, 因为 h=inf{sup∫;} 由此得出b可测 系 (a)每个点态收敛的复可测数序列的极限是可测的 (b)如果」及g可测(值域在[—,十内),则maxf,g
及min{f,9}也可测,特别,函数 ∫=max{f,O}及=-min{,0}是可测的 1.15上述函数∫及∫称为∫的正部和负部.我们有f=f+ f和ff一f,而后者是一种将∫表为具有某种极小性质的,两 个非负函数之差的典型形式: 命题若∫9—90及0,则≤9且∫ 证明由∫≤g及0≤9,显然有max{f,0}≤9 简单函数 I,16定义在可测空间X上,值域仅由[0,∞)内有限个点纽成 的函数8称为简单函数 (有时称具有有限值域的任意函数为简单函数是方便的,然而 我们要感兴趣的还是上述情况.注意,我们从简单函数的值中 明显地排阶了∞,) 如果a1,…,αn为简单函数s不同的值,且令A;={x:s(x)= a;},显然 8 a X 在这里xA,按照1.9(d)所定义,是A的特征函数 同样显然的是,当且仅当每个A;可测时,8是可测的 1.17定理设f:X[0,9]可测.则存在X上的简单可测 函数8n使得 (a)0≤8≤a2≤…≤f (b)对每个x∈X,当→>0,8n(x)→f(x) 证明对落=1,2,3,…,及1≤i≤2”,定义 邳,=f 及Fn=f)(x,∞])
并且令 (2) 8n=∑2-×,+x 定理1.12(b)指出En,及F均为可测集.容易看出的数(2) 满足(a),若x使得∫(x)<∞,则当n足够大时,ss≥∫(a)-2“; 若f(x)=∞,则sn(x)=;这样就证明了(b) 应该看到,若∫有界,上述构造将给出一个一致收敛的序列 测度的初等性质 l.18定义 (a)正测度为一定义在=代数m上的函数μ,其值域在[0,∞] 内,并且是可数可加的.即若{A;}为黑中互不相交的可数集族, 则 (1) A (4 为避免麻烦,我们假设至少对一个A肌,μ(A)<∞ (b)测度空间是一个可测空间具有定义在其可测集的-代数 上的正测度 (c)复测度是定义在一个-代数上的复值可数可加函数 注:我们称作正测度的正好是通常的测度,为了强调起见我 们才加上个“正”字.若对每个E,μ(E)=0,根据我们的定义, 4还是正测度.对正测度取∞值是允许的,但当我们讲到复测度 时,对每个E∈默,F(丑)要理解为复数.当然,实测度构成了复 测度的一个子类 I.19定理设为-代数费上的正测度,则 18
(a)a()=0 (b)如果A1,…,Aa均为的两两不相交的元素,则 (A…UAn)=(A1)+…+(An (c)如果A∈卯,B∈羽,则ACB蕴涵着μ(A)≤H(B)。 (d)如果A=UA,A∈,且 A,CA2CA3C 则当→时,(An)→(A (e)如果A An,A∈亚 且H(A)有限,则当→时,“(An)→ 如证明将指出的,这些性质除(e)外,对复测度也成立;(b)称 为有限可加性;(c)称为单调性 证明 (a)取A∈,使得4(A)<∞,在L18(1)中,取A1=A,及 A2=A3 (b)在1.18(1)中取An+1=A, (e)由于B=AU(B-A)及4∩(B-A)=g,可看出(b)蕴涵 着(B)=H(4)+(B-A)≥H(A) (d)令B1=A1,且对n=2,3,4,…,令Bn=An一An-1·则 Bm,计六时B∩B1=Q,A=B1U…UB灬,且A=∪B 因此 H(A)=∑μ(B1)而(A)=∑(B1) 19
根据无穷级数和的定义得出(a), (e)令Cn=A1-A,则C1cO2CCC…, (Cn)=4(A1)-4(An) A1-A=UCn,于是由(d)得出 u(A1-A(A)=u(A1-A)=lim u(Cn)=R(Ai)-lim u(As) f→ 这就推出(e) 1.20例如我们将看到的,有越的测度空间的构造要求做 些艰苦的工作.然而,可以立即给出少数浅显的例子 (a)X为任意集,对仨意BCK,若E为无穷集,定义μ(E) =e,当E为有限集时,令4(E)为E的点数这个H称为X上的计 数测度 (b)固定∈X.对任意EcX,若x0∈E,定义H(E)=1;若 E,定义μ(E)=0.这个μ称为集中在x的单位质量 (c)令μ是集{1,2,3,…}上的计数测度,令A2={m,n+1, "+2,…}.则∩A=∞,但对=1,2,3,…,μ(An)=∞.这表明 定理1.19(e)中的假设 H〔A1)<∞ 并非多余的 1.21关于术语的注释人们经常看到把测度空间看成是 “三元序组”(x,,),其中X为集,羽为X内的-代数,而为 定义在趼上的测度.类似地,可测空间是“序对”(X,),这虽然 有点多余,但在逻辑上完全正确通常也是便利的.例如在(X,) 中,集X仅是识的最大元素.因此我们若知道,也就知道了X 类似地,根据定义,每个测度都有一个-代数作为它的定义域,于 是我们若知道测度H,也就知道作为的定义域的a-代数,那末 作为-代数识的最大元素集X也就知道了 因此,使用象“设μ为一测度”,或者当我们在问题中希望强调