是xb的一个邻域.因为∫(∫(V))<V,故∫在x连续 若∫在X的每一点连续,且是Y的开集,则每一总x∈f(V) 有一个邻域Wx,使得∫(Wx)CV,因此WxCf1(V).由此可见 f1()是开集Wx的并,所以∫‘()本身是开集,因而∫是连 续的 1.6关于定义13的注释设是集X内的-代数,由定义 1.3的性质(i)至(i立即得出如下事实. (a)由于必=x°,故(i)和(i)蕴涵着∈趼 (b)在(ii)中取An+1=An+2=…=必,我们看出,若A∈P, 则A1∪A2U…UAn∈ (c)由于 A 故业对可数交(同时对有限交)是封闭的 (d)由于A-B=B∩A,若A∈及B∈,就有A-B∈〗 前缀是考虑到这样的事实;(ii)要求对于业的元的所有可 数并成立.若i)只要求对有限并成立,则业称为集的代数 1.7定理设y和为拓扑空间,且9一团是连续的 (a)若X是拓扑空间,∫:X→>Y是连续的,且h=9f,则h:X→ 是连续的 (b)若X是可测空间,:X→Y是可测的,且=gof,则h X→>z是可测的 简言之,连续函数的连续函数是连续的;可测函数的连续函数 是可测的 证明若是内的开集,则g(V)是Y内的开集,且 h(y)=f1(g1(V) 若∫是连续的,则h1(V)是开集,因而证明了(a) 1·
若∫是可测的,则b(V)是可测的,因而证明了(b) 1.8定理设和是可测空间X上的实可测函数,设中是 平而到拓扑空间y内的连续映射且对x∈X定义 h(x)=a(z),(x) 则k:X→Y是可测的 证明令f(x)=(a(x),(x),则∫将X映射到平面内由于 h=φ·f,定理1.7指出,只要证明∫的可测性就足够了 若R是平面上任一个其边平行于坐标轴的升长方形,则R是 两个开区间L1及l2的笛卡儿乘积,并根据关于v和v的假设, f-1(R)=u-1(1)∩-1(I2) 是可测的在平面上的每一个开集V是这样的长方形R的可数并, 且由于 f(V)=fIUR: -UF(R 因此,f1(V是可测的 19设X是可测空间.下面的命题是定理17和1.8的推论: a)若2积是X上的实可测的数=a+,则f为X上的 复可测函数 这个结论由定理18,令中(z)=2得出 (b)若f=a+1是X上的复可测函数,则v,,、及f都是X 上的实可测函数 这个结论由定理1.7,令9(x)=Re(x),In(2),及[z|得出. ()若f及g是X上的复可测函数,则f+g,及∫亦然 对实的f,9,由定理1.8,令 8,)=8+t 和φ(8,日=得出.对复的情形即由(a)及(b)得出 d)若E是X内的可测集,且 I2
1当x∈B Xa(I) 0当xE 则X是可测函数 这是明显的,我们称xg为集E的特征函数.整个书中,字 母x将专用千表示特征函数 (e)若∫为X上的复可测函数,则存在X上的复可测函数a, 使得|a|=1,且f=a|f 证明令E={x:f(x)=0},Y为除去原点的复平面.对z∈ Y,定义q(x)=/lx,且令 ar=pf(I)+Xe()) (rEx) 若x∈E,a(x)=1;若减E,a(x)=∫(x)/f(x).由φ在Y上连续 且E可测(为什么?),a的可测性由(c),(d及定理1.7得出. 现在指出存在大量的-代数. 110定理若牙为X的任意子集族,则在X内存在一最小 的∝一代数羽*,使得C亚* *有时称为由界生成的-代数 证明令9为X内所有包含的σ-代数卯的族.因为X的 全体子集的集族是具有这种性质的σ代数,故非空,设界*为所 有∈9的交,显然,c*,且鼽*含于每一个包含的0-代数 中.为完成此证明,必须证明骤*本身是σ-代数 如果对磐=1,2,3,…,A∈*,且如果∈2,则A∈,因 为是σ-代数,所以UA∈.因为对每一个羽∈9,有UAn∈, 故得出∪A∈*.-代数定义的其余两个性质可用同样方法验 证 l,11 Borel集设x为拓扑室间.由定理1.10,在X内存 在一个最小的σ-代数∞,使得X内每一个开集都属于≌,称的 元素为X的 Borel集 13
特别,闭集是 Borel集(由定义,它是开集的余集),且闭集的 切可数并及开集的一切可数交都是 Borel集.后两者分别称为 F。集及G3集,并且起着重要的作用,这符号来源于 Hausdorff.字 母F及G分别用于闭集及开集,而用于并( Summe).6用于交 ① Durchschnitt.例如每个半开区间[a,b)是B2内的一个G。集和 个F集 因为是-代数,我们现在可以把X看作一个可测空间,而 Bore集则起着可测集的作用.更简洁地,考虑可测空间(X,), 若∫:X→>y是X的连续映射,其中Y为任意拓扑空间.由定义,显 然对Y内每个开集V,f(V)∈图,换句话说,X的每个连续映射是 Bore可测的 Borel可测映射通常称为 Borel映射,或 Borel函数 1.12定理假设是X内的0代数,Y为拓扑空间,f映X 到Y内 (a)如果2为所有集ECY使得f(B)∈骤的集族则为Y 内的σ-代数 b)如果f可测且E为Y的 Borel集,则f1(Z)∈亚 ()如果y=[,c],且对每个突数a,f“a,∈亚, 则∫可测 (d)如果∫可测,么为拓扑空间,g:Y→Z为Bore映射,且如 果h=gof,则h:x→>z可测 ()常用来作为实值函数可测性的判别准则(见习题3),注 意,(a)推广了定理1.7(b) 证明从关系式 f(r)=X f1(Y-A)=X-f1(A) 和 f1(A1UA2U…)=f(A1)Uf1(A2)∪… 4
可得出(a 现在证明(b),设Ω如(a)所规定;∫的可测性蕴涵着9包含￥ 内所有开集,且因Ω为σ-代数,包含Y内所有 Borel集 现在证明(c),令9为所有EC[-,+∞],使得f1(E)∈ 的集族.选取一实数α,并选取α<α使得当第→∞时,αn→>.因 为对于每个n,(an,∞]∈9,由于 U[-∞,a]=U(an,∞y 而(a)已证明了为-代数,看出-∞,a)∈3,而 B)=[-∞,B)∩ 也有相同的结论,因为[ 内的每个开集都是可数个上述 类型开区间的并故9包含每一个开集,于是f可测 现在证明(d),令VCZ为开集.则g1(V为Y的 Borel集,且 h4(V)=f(g(V)) (b)指出Δ’(V)∈ l.I3定义设{an}为[-∞,∞]的一个序列,令 (1) 6 =supta, ak+1,z+27 (k=1,2,3,…) 且 (2) =inf{b1,b2,b3,…} 我们称B为{an}的上极限,记作 (3) B=lim supa 容易验证下列性质:首先,b≥b2≥b≥…,所以当k>∞时 bk→>B;其次,存在{n}的子序列{an}使得当讠→∞时,an1→B,且B 为具有此性质的最大数 类似地定义下极限:简单交换(1)及(2)中的sup及inf.注意