理数系构造实数系那样有同样根本的重要性。 上面提到的测度m当然与实直线的几何性质是密切相关的 在本章中,将介绍关于在任意集上任何可数可加测度的 Lebesgue 积分的一种抽象的(公理化的)叙述(精确定义见后).这个抽象理 论无论从那方面看都不比实直线上的特殊情形更困难;它说明,积 分理论中的大部分与基础空间的任何几何(或拓扑)是无关的;而 且,它当然也向我们提供了一个广泛有用的工具.我们将在第二 章中证实包括 Lebesgue测度在内的一大类测度的存在 集论的记号和术语 I.I某些集能用列出它们的元素来描述,例如{x1,…,xn}是 元素为x,…,x的集;而{x}是仅有一个元素x的集.更为常见的 是用性质来描述集合.对于具有性质P的所有元素x的集记为 fa: Pt 符号必表示空集.族及类这些词在使用时与集是同义的 若矿为集A的元素,记∈A;否则A.若B是A的子集,郎 若x∈B蕴涵着κ∈A,就记B∈A.若BCA且AcB,则A=B.若 BCA且A≠B,则B是A的真子集注意,对于每一个集A有 必cA AUB及A∩B分别为A与B的并及交.若{A}是集族,其中 遍取某个指标集I,则{a}的并及交记作 Aa及 即 ∪An=(x:∈A1对至少一个aen An={z:x∈Aa对每一个a∈I
若I是所有正整数的集,习惯的记号是 An及 若{Aa}的任何两个集没有公共元素,则{A}是一个不相交的 集族 记A-B={x:x∈A,xB},当从上下文能清楚地知道是对哪 个比较大的集取余集时,A的余集就用A来表示 集A1,…,An的笛卡儿乘积A1XA2×…×Ax是全部7元序组 (a1,…,an)的集,共中a2∈A;,i=1,…,r 实直线(或实数系)记作R,且 B=R2×…×R(看个因子) 广义实数系是B加上两个符号∞及一∞并且具有明显的顺序若 ≤a≤b≤,则闭区间[a,b及开区间(a,b)定义为 [a,b]={x:a≤x≤b},(a,b)={x:a<<b 同样,记 [a,b)={x:a≤岔<b,(a,矶={:a<霎≤b 若E∈[一C,∞]且E,则在[一∞,c]内,E的最小上界 (上确界)及最大下界(下确界)存在,并记为supE及infE 有时(仪当SupE∈E时)把supE记作maxE 记号 f:x→>Y 意味着f是集X到集Y内的一个函数(或映射或变换);即对每个 r∈K,f确定一个元素f(x)∈Y.若AcX及BcY,则A的象及B 的逆象(或原象)是 f(A)={3:y=f(x)对某个A f-1(B)={x:f(x)∈B} 要注意,虽然B②,但∫(B)可能是空的
f的定义域是x,f的值域是f(X) 若f(X)=Y,称∫把X映射到Y上 对每一个vY,用∫(y)代替∫1(iy}).对每个y∈】,若 f-(gy)至多由一点组成,则f称为一、一的.若∫是一、一的,则 f是一个函数,其定义域是f(x),而值域是X 若f:X→[-∞,∞]且ECK,则习惯上记作supz∈剧f(x)而不 是Supf(E) 若f:X→>￥及g:Y→Z则复合函数gof:X→>Z用公式 (gof)(x)=g(∫(x))(x∈x) 定义 可测性概念 可测函数类在积分理论中起着基础的作用.它与另一最重要 的函数类,即连续函数类有些共同的基本性质.记住这些相似的 地方是有益的.因此,我们的表述是按这样一种方式组织的,即特 别强调拓扑空间、开集和连续函数这些概念与可测空间可测集和 可测函数等另一些概念之间的类似性,看来,当这种处理方式十 分抽象时,这些概念之间的关系就显得最清楚不过了,正是这 点(而不只是为了追求一般性),促使我们来探讨这个课题 1.2定义 (a)集X的子集族v称为x上的一个拓扑,若τ具有如下三 个性质: (i)g∈r及X∈r (i)若V,∈x,i=1…,B,则V∩V2∩…∩Vn∈r (i)若{a}是r的元素的任何集族(有限,可数或不可数), 则∪v∈r
(b)若x是X上的拓扑,则X称为拓扑空间,且r的元素称为 X的开集 (c)若X和Y为拓扑空间,且f是X到Y内的映射,若对y的 毎一个开集V,∫(V)是X的开集,则称f为连续的 1,3定义 (a)集X的子集族趼称为X的一个-代数,若具有如下 性质: (1)X∈ (ⅱ)若A∈D,则A∈趼,其中A°是A关于X的余集 (i1)若A=UAn且2∈m,n=1,2,3,…,则A∈m b)若亚是x的-代数,则X称为可测空间且m的元素称为 X的可测集 (c)若X是可测空间,Y是拓扑空间,而是x到Y内的映射, 若对Y的每一个开集卩∫1(V)是X的可测集,则∫称为可测的 把术语“可测空间”应用到序对(x,9)而不是X上也许更合 适些.毕竟X是一个集,并且X也不会由于我们心目中同时有一 个由其子集构成的-代数而有任何形式的改变.类似地,一个拓 扑空间是一个序对(x,t.但如果这类事情在全部数学内有系统 地去做的话,则术语就会变得非常不方便,我们将于L21节中在 一些较大的范围内再讨论这个问题 L.4关于定义】.2的注释最熟悉的拓扑空间是度量空 间.我们假定对度量空间已有所了解但为了完整起见,还是给出 基本的定义 度量空间是一个集X,在此集中定义了一个具有如下性质的 距离函数(或度量): (a)对所有G,张X,0≤p(x,)<∝
(b)当且仅当x=时,p(m,y)=0 (ec)对所有x,∈x,p(x,)=p(y,x) (d)对所有x,郭,X,p(x,y)≤p(x,2)+p(z,y 性质(d)称为三角不等式 若x∈X且r≥0,则以岔为中心,为半径的开球是指集{y∈X p(,y)<T} 若X是度量空间,且x是所有集ECX的集族,E是开球的任 意并,则是X内的拓扑.不难证明,交的性质依赖于这样的事 实:若x∈B1∩B2其中B1及B2为开球,则c是一个开球BCB1∩B2 的中心.我们把它留作练习 例如,在实直线R上,当且仅当一个集是一些开区间(a,b)的 并时,该集是开集.在平面R2上,开集是开圆盘的并 我们将常常碰到的另一拓扑空问是扩充了的实直线 -,∞];它的拓扑是通过规定如下的集为开集来定义的,即规 定(a,b),[-∞,a),(a,c]以及这种类型开区间的任何并为开集 在12节定义(c)中给出的连续性定义是对整体而言的,通常 需要定义局部的连续性,即若对f(x)的每一个邻域V,对应有x0 的一个邻域W,使得f(W)cV,则称X到F内的映射∫在点x∈X 连縷 (根据定义,点x的邻域是一个包含点x的开集.) 对于度量空间,此局部性定义当然与习惯上的e-8定义是相 同的 下面的简易命题将这两个连续性定义按预邦的方式联系起来 了 L5命题设x和Y是拓扑间,f是X到Y内的映射当 且仅当f在X的每一点连续时,映射f是连续的 证明若∫连续且x0∈X,则对∫(x)的每一个邻域V,f"(V)