引言指数函数 在数学中这是个最重要的函数,它是用公式来定义的,对每 个复数z,规定 (1) 级数(1)对每个绝对收敛,对复平面的每个有界子集一致收敛 因此,exp是连续函数.(1)的绝对收敛指出了算式 - n -abn- (n-k)! =∑a+b 0 是正确的它给出了重要的加法公式 (2) exp(a)exp()=exp(a+b) 此公式对所有复数a和b是正确的. 我们规定数e是exp(1),习惯上常用较短的表达式e2代替 exp(z).注意,由(1)可得 e=exp(0)=1 定理 (a)对每一个复数z,e20 (b)exp的导数是它自己:exp(z)=exp(z) (c)exp限制在实轴上是单调增加的正函数,且当x→时, ex→;当x→时, ex→0 (d)存在一个正数使得e2并使得e2=1当且仅当 1 111053
2xi)是整数时才成立 (e)exp是周期函数,其周期是2r, (f)映射t→e将实轴映到单位圆周上 (9)若w是复数且m0,则存在某些x,使=e 证明由(2),e‘·e=ex-=e°=1.由此得到(a),其次 exp'(a)=lim exp(+h)=exp(2) exp(a)lim exp(h-1 h =exp(z) 在上述等式中,第一个是定义,第二个从(2)得到,而第三个从 (1)得到,因此证明了(b) 由于(1),显然exp在正实轴上是单调增加的,而且当x 时,e→>∞,(c)的另一个断言是e·ex=1的结果 对于任何实数t,(1)表示e-“是e‘的共轭复数,因此 e 1 或 (3) e|=1(t是实数) 换句话说,若t为实数,则e位于单位圆周上,我们定义cost, sin6为e”的实部和虚部 (4) cogt=Ree],sint=Im[e(t是实数) 若对等价于(4)的 Euler恒等式 (5) ost+2 sin t 两边微分,并且应用(b),则得 cos't+i sin't=ie=-sint+cost 于是 (6) cos sin, sin' Cos 2
幂级数(1)给出表示式 (7 CostE 1 2!4!6! 十 取t=2,则级数(7)的各项按绝对值减少(除首项外),而且它们的 符号是交错的,因此cos2小于级数(7)的前三项之和;于是cos2 3·由于c0s0=1且co8是实轴上的实连续函数,可断定存 在一个最小的正数t使得 costo=0,我们定义 (8) 2去 从(3)及(5)得到si0=±1,由于在开区间(0,4o)上 n't=cost>0 和sin0=0,故有sin>0,因此 sin t=1,而且 (9) 由此可见,e=i2m-1,e2n=(-1)2=1,且对每个正整数 ,e2i=1.同样立即得到(e) 若x=+,x和y为实数,则e2=ee";因北e2|=e,若e2= 1,则必须有e=1,从而z=0;根据(10),为了证明y/2π一定是整 数,只要证明当0<犭<2π时,e÷1就足够了 设0<y<2丌,且 e=t+it(u和”是实数) 由于0<y/4<丌/2,故有a>0,0>0.同样 (12)e“=(u+it)4=u4--622+v4+4i(2-2) 仅当v2=v2时,(12的右边才是实数;由于2+u2=1仅当v2=v2 时才成立,因此(12)表示出 I上1
这就证明了(④) 我们已经知道,t→e将实轴映入单位圆周内为了证明(f), 现固定切使得{|=1;我们将要证明,对于某些实数有=e‘ 记=2+,和υ为实数,而且首先假定≥0及≥0.由于 ≤1,则m的定义表明存在一个,0≤≤π/2,使得cost=t;因 而sin=1-t2=b2,又由当0≤丌/2时有sin≥0,故sin =υ,因此U=e‘ 若<0及υ≥0,则一iv满足上述的条件,因此,对于某些实 数t有一i=e‘,而且t=en/2),最后,若υ<0,则上述两种情 况证明了,对于某些实数t有-=e,因此=e“(+.这就证 明了 若=0,令av/w,因而切=|ua,根据(c),有一个实数 x使得1=ex,由于!a|=1,则(f)证明了,对于某些实数有 a=e",因此=ex+",这就证明了(g),且完成了本定理的证 明 我们将遇到(1+2)1在实直线上的积分.为了求它的值,在 (一π/2,/2)内,令()= gint/cost.根(6)有q'=1+q2因 此,g是一个(一x/2,x/2)到(一∞,∞)上的单调增加的映射, 而且得到
第一章抽象积分 大约十九世纪末,许多数学家才搞清楚, Riemann积分(微积 分学教程中学习的内容之→)应当由另外一种类型更广泛、更灵 活、更适合于处理极限过程的积分来代替.在这方面所作努力之 中,最著名的有 Jordan, Borel,W.H. Young及 Lebesgue,jLe begun的结构终于是最成功的 筒要说来,其主要的思想是:函数∫在闭区间[a,b上的Re- mann积分能够用和式 ∑f(t)m(E) 逼近,其中E1,…,B为不相交的闭区间,它们的并为[a,b],m(B;) 表示E;的长度,而t,∈E,(L=1,2,…,n), Lebesgue发现,当上 面和式中的集E;属于直线上较大的一类子集,即所谓“可测集” 而且把所考虑的函数类扩大到所谓“可测函数”时,可以得出一种 完全令人满意的积分理论.涉及到决定性的集论的性质如下:任 何可数个可测集族的并和交是可测的;每一个可测集的余集也是 可测的;而且,最重要的是“长度”的概念(现称为“测度”)可按这样 的方法推广:对于两两不相交的可测集的每一个可数集族{E}, 都有 m(E1UE2UEU…)=m(E1)十m(E2)十m(E3)十 m的这个性质称为可数可加性 从 Riemann积分理论过渡到 Lebesgue积分理论是一个完备 化的过程(其意义以后将更加精确地叙述).它在分析上如同从有 5