这样就得到了{x,}的一个子列{x}，满足：limXm=lim(Xm-a)+limar=A,k??k??k??即证得A也是x的一个聚点，所以Al E.同理可证AIE.定义有界数列(x,的最大聚点A与最小聚点2A 分别称为x,的上、下极限,记为A= lim Xn, A= lim Xn.n??n??后页巡回前页
前页 后页 返回 这样就得到了 { xn } 的一个子列 满足: 同理可证 定义 2 有界数列 的最大聚点 与最小聚点 分别称为 的上、下极限, 记为 即证得
注由定理7.4得知，有界数列必有上、下极限这样，上、下极限的优越性就显现出来了：一个数列若有界，它的极限可以不存在，此时想通过极限来研究该数列往往是徒劳的；但是有界数上、下极限总是存在的，这为研究数列的性质提供了一个新的平台后页返回前页
前页 后页 返回 注 由定理 7.4 得知, 有界数列必有上、下极限. 提供了一个新的平台. 的上、下极限总是存在的, 这为研究数列的性质 极限来研究该数列往往是徒劳的; 但是有界数 列 数列若有界, 它的极限可以不存在, 此时想通过 这样, 上、下极限的优越性就显现出来了: 一个
例1考察以下两个数列的上、下极限：= 0 (= lim -);limlimn?￥nn?Ynn??nnnlim (- 1)"lim (- 1)n=1,n+1n+1n??n??从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限之间存在着的内在联系详细讨论请见下文巡回后页前页
前页 后页 返回 例1 考察以下两个数列的上、下极限: 从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限 之间存在着的内在联系. 详细讨论请见下文
二、上（下)极限的基本性质由上、下极限的定义，立即得出：定理7.5对任何有界数列x,，有limx,f limxn(1n??n??下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关系.定理7.6有界数列x，存在极限的充要条件是：lim Xn = lim Xn(2n??n?巡回后页前页
前页 后页 返回 二、上(下)极限的基本性质 由上、下极限的定义, 立即得出: 定理7.5 对任何有界数列 有 下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关 系. 定理7.6 有界数列 存在极限的充要条件是: (1 ) (2 )
证 设 lim x, = A. 对于任意正数 e,在 U(A;e)n?之外x，只有有限项.这样，对任意的B1A.取e,=LB.A若>0, 那么在 U(B;e) 内(此时必2在U(A;e）之外）(x，只有有限项.这就是说，B不是x的聚点，故x仅有一个聚点A，从而lim x, = lim xnn? ?n?反之，若上式成立，则（x，的聚点惟一（设为A)后页巡回前页
前页 后页 返回 证 设 对于任意正数 在 之外 只有有限项. 这样, 对任意的 若 只有有限项. 这就是说, B 不是 的聚点, 故 仅有一个聚点 A, 从 而 取 那么在 内( 此时必 反之, 若上式成立, 则 的聚点惟一 (设为 A)