例 对函数f(x)= x3 +4x2 -7x-10,在[-1,2]上验证罗尔定理的正确性证（1）定理的假设条件满足f(x)在[-1,2]上连续, 在(-1,2)内可导f(-1) = 0= f(2)(2)结论正确方程f(x)=0,即3x2+8x-7=0有实根(-4 - ~/37), x2 =37=(4X1其中x, E(-1,2),符合要求罗尔定理肯定了的存在性，一般没必要知道究竟等于什么数，只要知道存在即可
例 对函数f (x) = x 3 + 4x 2 − 7x − 10,在[−1,2]上 证 (1) f (x)在[−1,2]上连续, f (−1) = 0 (2) 方程f (x) = 0, ( 1,2), 其中x2 − 定理的假设条件满足 = f (2) 结论正确 即3x 2 + 8x − 7 = 0有实根 ( 4 37), 3 1 x1 = − − ( 4 37) 3 1 x2 = − + 符合要求. 验证罗尔定理的正确性. 罗尔定理肯定了 的存在性,一般没必要知道 究竟等于什么数,只要知道 存在即可. 在( -1,2)内可导
例证明方程x-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根证(1)存在性设 f(x)=x° -5x+1,则 f(x)在[0,1]连续且 f(0)=1, f(1) = -3.零点定理3 x E(0,1),使 f(x) = 0即为方程的小于1的正实根
例 . 5 1 0 1 5 的正实根 证明方程 x − x + = 有且仅有一个小于 证 ( ) 5 1, 5 设 f x = x − x + 则 f (x)在[0,1]连续, 且 f (0) = 1, 零点定理 (0,1), x0 即为方程的小于1的正实根. (1) 存在性 f (1) = −3. ( ) 0. 使 f x0 =
证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根唯一性(2)1设另有xi E(0,1),xi ± xo,使 f(x)= 0.：f(x)在xo,X,之间满足罗尔定理的条件至少存在一个(在xo,x, 之间),使得f'()= 0.但 f'(x)=5(x4-1)<0,(x E(0,1)矛盾,故假设不真!：为唯一实根罗尔定理还指出，对可导函数(x），在方程f(x)=0的两实根之间,至少存在方程f(x)=0的一个实根
(0,1), , 设另有 x1 x1 x0 ( ) 0. 使 f x1 = f (x) ( , ), 至少存在一个 在 x0 x1 之间 f ( ) = 0. ( ) 5( 1) 4 但 f x = x − 0, 为唯一实根. (2) 唯一性 使得 (x (0,1)) 对可导函数 f(x), f (x)=0的两实根之间, 在方程 f (x) = 0 的一个实根. 罗尔定理还指出, 至少存在方程 在 x0 , x1 之间 满足罗尔定理的条件. 5 1 0 1 . 证明方程 x 5 − x + = 有且仅有一个小于 的正实根 矛盾,故假设不真!
例设常数co,C,…,c,满足条件C0.试证方程Co2n+1=0Co +cx+..+c,xn在(0,1)内存在一个实根分析注意到：CSntCox+X2n+lf(x)=Co +cix+...+c,xn
例 设常数c0 ,c1 , ,cn 满足条件 0. 2 1 1 0 = + + + + n c c c n 试证方程 0 + 1 + + = 0 n c c x cn x 在(0,1)内存在一个实根. 分析 注意到: ) 2 1 ( 1 2 1 0 + + + + n n+ x n c x c c x n = c0 + c1 x ++ cn x f ( x)