费马引理设函数f(x)在点x的某邻域U(x)内有定义，且f(x)存在,如果对VxE U(x),有f(x)≤ f(x)(或f(x)≥ f(x),f'(x.)= f'(x)= fi(x)那么f(x)= 0.由极限的保号性f(xo +△r)- f(xo若 △x >0, '(x)= lim≤0Ar→0+Axf(xo +Ax)- f(xo)若 △x< 0, f'(xo)= lim20ArAr-→0f= 0.UXo函数的！驻点(Stationary point),稳定点临界点(Criticalpoint)
费马引理 有定义, 如果对 ( ), x U x0 有 ( ) ( ) x0 f x f ( ( ) ( )), x0 或f x f ( ) 0. 那么 f x0 = → + 0 lim x f+ (x0 ) = ( ) ( ) ( ) 0 0 x0 f x f x f − + = = f (x0 ) = 由极限的保号性 若 x 0, x f x x f x ( + ) − ( ) 0 0 0, 若 x 0, 0. x f x x f x ( + ) − ( ) = 0 0 − ( ) x0 f → − 0 lim x 函数的 驻点(Stationary point),稳定点, 临界点(Critical point). 0. 设函数f (x)在点x0的某邻域U(x0 )内 ( ) , 且f x0 存在
罗尔定理若函数f(x)满足：在闭区间a,bl上连续(1)(2)在开区间a,b)内可导f(a) = f(b);(3)则在开区间(a,b)内至少存在一点使得f'()= 0.分析利用闭区间连续函数的性质和费马引理得出定理结论
罗尔定理 若函数f (x)满足: (1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; (3) f (a) = f (b); 则在开区间(a,b)内至少存在一点, 使得 f ( ) = 0. 分析 利用闭区间连续函数的性质和费马引理得出 定理结论
罗尔定理若函数f(x)满足：(1)(2) 在开区间a,b)内可导在闭区间a,bl上连续(3)f(a)= f(b),则在开区间(a,b)内至少存在一点使得f()= 0.费马引理设函数f(x)在点x的某邻域U(x)内有定义，且f(x)存在,如果对VxU(x),有f(x)≤ f(x,) (或f(x)≥ f(xo))那么 f'(x)= 0.设 M ± f(a),则在(a,b)内至少存在一点,使f(5)= M. V ≤e[a,b], 有f(x)≤f()由费马引理，f'()=0
(b) 若 M m. 设 M f (a),则在(a,b)内至少存在一点 , f ( ) = M. 证 (a) 若 M = m. f (x)在[a,b]有最大值M和最小值m. 则 f (x) = M.得 f (x) = 0. (a,b),都有 f ( ) = 罗尔定理 若函数f (x)满足: (1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; (3) f (a) = f (b),则在开区间(a,b)内至少存在一点, 使得 f ( ) = 0. 0. 所以最值不可能同时在端点取得. 使 [a,b], 有 f (x) f ( ), 由费马引理, f ( ) = 0. 费马引理 有定义, 如果对 ( ), x U x0 有 ( ) ( ) x0 f x f ( ( ) ( )), x0 或f x f ( ) 0. 那么 f x0 = 设函数f (x)在点x0的某邻域U(x0 )内 ( ) , 且f x0 存在
罗尔定理若函数f(x)满足：(1)在闭区间a,bl上连续(2)在开区间a,b)内可导(3)f(a)= f(b),则在开区间(a,b)内至少存在一点使得f()= 0.注(1)定理条件不全具备,结论不一定成立V4xO1X00x-1x, 0≤x<1f(x) =x , x e[-1,1]f(x) =x,x e[0,1f(x)=0. x=1P
(1) 定理条件不全具备, = = 0, 1 , 0 1 ( ) x x x f x f (x) =| x |, x [−1,1] 注 结论不一定成立. 罗尔定理 若函数f (x)满足: (1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; (3) f (a) = f (b),则在开区间(a,b)内至少存在一点, 使得 f ( ) = 0. 1 x y O − 1 y O x y O x f (x) = x , x [0,1] 1 1
罗尔定理若函数f(x)满足：(1)在闭区间a,bl上连续(2)在开区间a,b)内可导(3)f(a) = f(b),则在开区间(a,b)内至少存在一点使得f()= 0.(2)定理条件只是充分的.本定理可推广为：注设y=f(x)在(a,b)内可导,且lim f(x)= lim, f(x)xa+0h则在(a,b)内至少存在一点,使f()=0.提示f(a+0),x=a证 F(x)在[a,b]上设F(x)=3a<x<b f(x),满足罗尔定理。f(b-0),x=b
(2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为: 在( a , b )内可导,且 = → + lim ( ) 0 f x x a lim ( ) 0 f x x→b− 则在( a , b )内至少存在一点 使 提示 设F(x) = f (a + 0), x = a f (x), a x b f (b − 0), x = b 证 F(x)在[a,b]上 满足罗尔定理. 设 罗尔定理 若函数f (x)满足: (1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; (3) f (a) = f (b),则在开区间(a,b)内至少存在一点, 使得 f ( ) = 0. 注 y = f ( x)