(二)幅角定理（映射定理） 设F(s)在$平面上，除有限个奇点外，为单值的连续正则函数，若在S平面上任选 一封闭曲线Ts,并使Ts不通过F(s)的奇点，则S平面上的封闭曲线「s映射到F(s)平面 上也是一条封闭曲线「F。当解析点s按顺时针方向沿「s变化一周时，则在F(s)平面上， 「F曲线按逆时针方向旋转的周数N(每旋转2π弧度为一周)，或「F按逆时针方向包围 F(s)平面原点的次数，等于封闭曲线「s内包含F(s)的极点数P与零点数Z之差。即 N=P-Z (5-108) 式中，若N>0,则T按逆时针方向绕F(s)平面坐标原点N周；若N<O,则TF按顺时针绕 F(s)平面坐标原点N周；且若N=O,则T不包围F(S)平面坐标原点。 在图4-38中，在S平面上有三个极点P1、P2、P3和三个零点Z1、Z2、Z3。被「s曲线 包围的零点有Z1、Z2两个，即Z=2,包围的极点只有P2,即P=1,由式(4-108)得 N=P-Z=1-2=-1 说明Ts映射到F(s)平面上的封闭曲线顺时针绕F(S)平面原点一周。 由幅角定理，我们可以确定辅助函数F(s)被封闭曲线「s所包围的极点数P与零点 数Z的差值P-Z。 6
6 （二）幅角定理（映射定理） 设 在S平面上，除有限个奇点外，为单值的连续正则函数，若在S平面上任选 一封闭曲线s，并使s不通过 的奇点，则S平面上的封闭曲线s 映射到F(s)平面 上也是一条封闭曲线F。当解析点s按顺时针方向沿s 变化一周时，则在 平面上， F 曲线按逆时针方向旋转的周数N（每旋转2弧度为一周），或 F 按逆时针方向包围 F(s)平面原点的次数，等于封闭曲线s内包含F(s) 的极点数P与零点数Z之差。即 N=P-Z （5-108） 式中，若N>0，则F按逆时针方向绕F(s)平面坐标原点N周；若N<0，则F按顺时针绕 F(s)平面坐标原点N周；且若 N=0，则F不包围F(s)平面坐标原点。 在图4-38中,在S平面上有三个极点P1、P2 、P3和三个零点Z1、Z2、Z3 。被s 曲线 包围的零点有Z1、Z2两个，即Z=2，包围的极点只有P2 ，即P=1，由式（4-108）得 N=P-Z=1-2=-1 说明s 映射到 F(s)平面上的封闭曲线F顺时针绕F(s)平面原点一周。 由幅角定理，我们可以确定辅助函数 被封闭曲线s 所包围的极点数P与零点 数 Z的差值P-Z。 F(s) F(s) F(s) F(s)
前面我们已经指出F(s)的极点数等于开环传递函数Gs)Hs)的极点数， 因此当我们从F(s)平面上确定了封闭曲线I=的旋转周数N以后，则在S平面 上封闭曲线「s包含的零点数Z(即系统的闭环极点数)便可简单地由下式计算 出来 Z=P-N (4-109) 封闭曲线「s和「的形状是无关紧要的，它不影响上述结论。 关于幅角定理的数学证明请读者参考有关书籍，这里仅从几何图形上简单 说明。 设有辅助函数为 F(s)=（S-s-3s-23) (s-p1)(s-p2(s-P3) (4-110) 其零、极点在S平面上的分布如图4一39所示，在S平面上作一封闭曲线Γs 「s不通过上述零、极点，在封闭曲线Γ。上任取一点，英对应的辅助函数的 幅角应为 ∠F)--)--p) (4-111) 7
7 前面我们已经指出， 的极点数等于开环传递函数 的极点数， 因此当我们从 平面上确定了封闭曲线F 的旋转周数N以后，则在S 平面 上封闭曲线s 包含的零点数Z（即系统的闭环极点数）便可简单地由下式计算 出来 Z=P-N （4-109） 封闭曲线s和F 的形状是无关紧要的，它不影响上述结论。 关于幅角定理的数学证明请读者参考有关书籍，这里仅从几何图形上简单 说明。 设有辅助函数为 （4-110） 其零、极点在S平面上的分布如图 4—39 所示，在 S平面上作一封闭曲线s ， s不通过上述零、极点，在封闭曲线s 上任取一点 , 其对应的辅助函数的 幅角应为 (4-111) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 s p s p s p s z s z s z F s − − − − − − = F(s) G(s)H(s) F(s) S1 ( )1 F s = = = − − − 3 1 3 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) j i j pi F s s z s
当解析点S,沿封闭曲线「s按顺时针方向旋转一周后再回到S1点，从图中可以发现， 所有位于封闭曲线Ts外面的辅助函数的零、极点指向s1的向量转过的角度都为0，而位 于封闭曲线「s内的辅助函数的零、极点指向s1的向量都按顺时针方向转过2弧度（一 周)。这样，对图4一39(a),Z=1,P=0,∠F(s)=-2π，即N=-1,F(s)绕Fs)平面原点 顺时针旋转一周：对图4一39(b)，Z=0,P1,∠F(s)=2π，即N=1,F)绕Fs)平面原 点逆时针旋转一周；对图4一39(C)，Z1,P-1,∠F(s)=0,即N=0,F(s)不包围Fs)平 面原点。将上述分析推广到一般情况则有 ∠F(s)=2π(P-Z)=2πN (4-112) 由此得到幅角定理表达式为 N=P-Z (4-113) ↑j⊙ Z [F(s】 23 03 S1-1 P F(S)/ -P-P2 0 S-P R S1-22 N=-1 Ts 8 图4-39(a)Z=1、P=0、N=-1、∠F(S1)=-2π
8 当解析点S1沿封闭曲线s按顺时针方向旋转一周后再回到 s1 点，从图中可以发现， 所有位于封闭曲线s 外面的辅助函数的零、极点指向s1 的向量转过的角度都为0，而位 于封闭曲线s 内的辅助函数的零、极点指向s1 的向量都按顺时针方向转过2弧度（一 周）。这样，对图4—39（a），Z=1，P=0， ，即 N=－1， 绕 平面原点 顺时针旋转一周；对图4—39（b），Z=0，P=1， ，即N=1， 绕 平面原 点逆时针旋转一周；对图4—39（c），Z=1，P=1， ，即N=0， 不包围 平 面原点。将上述分析推广到一般情况则有 （4-112） 由此得到幅角定理表达式为 N=P-Z （4-113） F(s1 ) = 2 ( ) 2 F(s) F s1 = − ( )1 F s F(s) F(s) m I F(s) Re ( )1 F s N = −1 图 4-39 (a)Z =1、P = 0、N = −1、F(S1 ) = −2 F Z1 j p1 S1 − P1 p2 1 1 s − z 1 2 s − p 1 p3 s − 3 p3 z 1 3 s − z 1 s 2 z 1 2 s − z 0 s ( )1 ( ) 0 F s F s1 = F(s) = 2(P − Z) = 2N ( )1 F s