例3 证明范蒙得(Vandermonde)行列式 K, =Πk-x, ) .: n21>2] x X2 其中记号“Π”表示全体同类因子的乘积
例3 证明范蒙得（Vandermonde）行列式 ( ), 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 i j n i j n n n n n n n x x x x x x x x x x x D = = − − − − 其中记号“Π”表示全体同类因子的乘积. (1)
证：用数学归纳法因为 22i>j2 所以当n=2时(1)成立 现在假设(1)对于n一l阶Vandermonde行列式，即 X2 几-x, 21>j22
所以当n=2时（1）成立. 现在假设（1）对于n－1阶Vandermonde行列式，即 ( ) i j n i j n n n n n n x x x x x x x x D = = − − − − − 2 2 2 3 2 2 2 3 1 1 1 1 证: 用数学归纳法.因为 ( ) i j i j x x x x x x D = = − = − 2 1 2 1 1 2 2 1 1
我们来证明对n阶Vandermonde行列式也成立 0 X-X X3- X-X D=0x6-x）3-x 0x3-x)3-x)…x-x）
我们来证明对n阶Vandermonde行列式也成立. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 2 1 3 2 2 2 2 1 3 3 1 1 2 1 3 1 1 0 0 0 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D n n n n n n n n n − − − − − − − − − = − − −
n-2 n- =(x2-x;-x)..x)I, n2i>≥2 =I(x,-x, n≥i>≥1
( )( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 3 2 1 3 1 1 1 1 1 − − − = − − − n n n n n n x x x x x x x x x x x x ( )( ) ( ) 2 1 3 1 1 x x x x x x = − − n − ( ) i j n i j x − x 2 ( ) i j n i j = x − x 1
例4.计算 2 3 5 D 22 =12 32 42 52 23 33 43 5
12 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 1 1 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 D = = 例4.计算