例.求方程y"-5y+6y=xe2的通解 解:本题A=2,特征方程为r2-5+6=0其根为 3 对应齐次方程的通解为Y=C1e2+C2e3x 设非齐次方程特解为y*=x(bx+b1)e2x 代入方程得-2bx-b1+2b=x 2bn=1 比较系数得 26-b 0 2 0 因此特解为*=x(-x-1)2x 所求通解为y=Ce2+C2x-(2x2+x)e2x 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 的通解. 解: 本题 特征方程为 5 6 0 , 2 r − r + = 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 x y x b x b e 2 0 1 * = ( + ) 比较系数, 得 , 1 2 1 b0 = − b1 = − 因此特解为 * ( 1) . 2 2 1 x y = x − x − e 代入方程得 − b x −b + b = x 2 0 1 2 0 所求通解为 ( ) . 2 2 2 1 x − x + x e = 2, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.求解定解问题 y+3y"+2y=1 y(0)=y(0)=y"(0)=0 解:本题λ=0特征方程为r3+3n2+2r=0,其根为 0 故对应齐次方程通解为y=C1+C2ex+C3e2x 设非齐次方程特解为ν*=bx,代入方程得2b=1,故 y*=2x,原方程通解为 y=C1+C2e+C3e+ox C+c 2+C 3=0 由初始条件得-C2-2C3= C2+4C2=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例3. 求解定解问题 = = = + + = (0) (0) (0) 0 3 2 1 y y y y y y 解: 本题 特征方程为 其根为 设非齐次方程特解为 代入方程得 故 2 1 −C2 − 2C3 = − 故对应齐次方程通解为 Y = C1 x C e − + 2 x C e 2 3 − + 原方程通解为 C1 y = x C e − + 2 x C e 2 3 − + 由初始条件得 = 0, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
解得 4 于是所求解为 y +e e-+-x 4 (-3+2x+4e e HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
于是所求解为 y e e x x x 2 1 4 1 4 3 2 = − + − + − − 解得 = − = = − 4 1 1 4 3 3 2 1 C C C 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、f(x)=e[P(x)osOx+1(x)iox]型 分析思路: 第一步将f(x)转化为 f(x=pm(x)e n+io)x +Pm(xe (n+io)x 第二步求出如下两个方程的特解 y+py+gy=pm (xe (n+io)x y+py+qy=Pm(x)e (元+i0)x 第三步利用叠加原理求出原方程的特解 第四步分析原方程特解的特点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、 f x e x Pl x x Pn (x)sin x 型 ~ ( ) = ( )cos + = + +i x f x Pm x e ( ) ( ) ( ) i x Pm x e ( ) ( ) + 第二步 求出如下两个方程的特解 i x m y py qy P x e ( ) ( ) + + + = y + py + qy = 分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为 第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点 i x mP x e ( ) ( ) + 机动 目录 上页 下页 返回 结束